Упр.37.11 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

1) f(x)=v3x-(x^3)/3, a=60°; 2) f(x)=x^3-2x^2+x-1, a=45°.

1. Если касательная образует с положительным направлением оси абсцисс угол $$\alpha$$, то её угловой коэффициент равен $$\tg \alpha$$. Значит, нужно найти точки графика, в которых $$f'(x)=\tg \alpha$$.

2. 1) $$f(x)=\sqrt{3}x-\frac{x^3}{3}, \quad \alpha=60^\circ.$$

   Найдём производную:

   $$f'(x)=\sqrt{3}-x^2.$$

   Так как $$\tg 60^\circ=\sqrt{3},$$ получаем:

   $$\sqrt{3}-x^2=\sqrt{3}.$$

   Отсюда

   $$x^2=0,\quad x=0.$$

   Найдём ординату точки:

   $$f(0)=\sqrt{3}\cdot 0-\frac{0^3}{3}=0.$$

   Точка касания: $$\left(0;0\right).$$

3. 2) $$f(x)=x^3-2x^2+x-1, \quad \alpha=45^\circ.$$

   Найдём производную:

   $$f'(x)=3x^2-4x+1.$$

   Так как $$\tg 45^\circ=1,$$ имеем:

   $$3x^2-4x+1=1.$$

   Тогда

   $$3x^2-4x=0,$$

   $$x(3x-4)=0.$$

   Следовательно,

   $$x_1=0,\quad x_2=\frac{4}{3}.$$

   Найдём соответствующие значения функции:

   $$f(0)=0-0+0-1=-1,$$

   $$f\left(\frac{4}{3}\right)=\left(\frac{4}{3}\right)^3-2\left(\frac{4}{3}\right)^2+\frac{4}{3}-1=\frac{64}{27}-\frac{32}{9}+\frac{4}{3}-1=-\frac{23}{27}.$$

   Точки касания: $$\left(0;-1\right)$$ и $$\left(\frac{4}{3};-\frac{23}{27}\right).$$

Ответ

1) $$\left(0;0\right)$$; 2) $$\left(0;-1\right), \left(\frac{4}{3};-\frac{23}{27}\right).$$