Упр.37.11 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

Задача

Найдите такую точку графика функции $$f$$, что проведённая в этой точке касательная образует с положительным направлением оси абсцисс угол $$\alpha$$, если:
1) $$f(x)=\sqrt{3}x-\frac{x^3}{3}$$, $$\alpha=60^\circ$$;
2) $$f(x)=x^3-2x^2+x-1$$, $$\alpha=45^\circ$$.

Подробный ответ

1) Найдём производную функции:

$$f(x)=\sqrt{3}x-\frac{x^3}{3}$$

$$f'(x)=\sqrt{3}-x^2$$

Так как касательная образует с положительным направлением оси абсцисс угол $$60^\circ$$, то её угловой коэффициент равен

$$\tan 60^\circ=\sqrt{3}.$$

Приравняем производную к этому значению:

$$\sqrt{3}-x^2=\sqrt{3}$$

$$x^2=0$$

$$x=0.$$

Найдём ординату точки:

$$f(0)=\sqrt{3}\cdot 0-\frac{0^3}{3}=0.$$

Следовательно, искомая точка: $$\left(0;0\right).$$

2) Найдём производную функции:

$$f(x)=x^3-2x^2+x-1$$

$$f'(x)=3x^2-4x+1$$

Так как касательная образует с положительным направлением оси абсцисс угол $$45^\circ$$, то

$$\tan 45^\circ=1.$$

Приравняем производную к этому значению:

$$3x^2-4x+1=1$$

$$3x^2-4x=0$$

$$x(3x-4)=0.$$

Отсюда

$$x_1=0,\qquad x_2=\frac{4}{3}.$$

Найдём соответствующие значения функции:

$$f(0)=0-0+0-1=-1,$$

$$f\left(\frac{4}{3}\right)=\left(\frac{4}{3}\right)^3-2\left(\frac{4}{3}\right)^2+\frac{4}{3}-1=\frac{64}{27}-\frac{32}{9}+\frac{4}{3}-1=-\frac{23}{27}.$$

Искомые точки: $$\left(0;-1\right)$$ и $$\left(\frac{4}{3};-\frac{23}{27}\right).$$