Упр.37.10 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)
Найдите такую точку графика функции $$f$$, что проведённая в этой точке касательная образует с положительным направлением оси абсцисс угол $$\alpha$$, если:
- $$f(x)=x^2-7x+3$$, $$\alpha=45^\circ$$;
- $$f(x)=\sqrt{3x+2}$$, $$\alpha=45^\circ$$;
- $$f(x)=-3x^2+2\sqrt{3}x-2$$, $$\alpha=60^\circ$$;
- $$f(x)=\frac{x+7}{x-2}$$, $$\alpha=135^\circ$$.
1) $$f(x)=x^2-7x+3,\quad a=45^\circ$$
Угловой коэффициент касательной равен $$\tan 45^\circ=1.$$ Тогда
$$f'(x)=2x-7,$$
$$2x-7=1,$$
$$2x=8,$$
$$x=4.$$
Найдём ординату точки:
$$f(4)=4^2-7\cdot 4+3=16-28+3=-9.$$
Ответ: $$\left(4;\,-9\right).$$
2) $$f(x)=-3x^2+2\sqrt{3}\,x-2,\quad a=60^\circ$$
Так как $$\tan 60^\circ=\sqrt{3},$$ то
$$f'(x)=-6x+2\sqrt{3}.$$
Составим уравнение:
$$-6x+2\sqrt{3}=\sqrt{3},$$
$$6x=\sqrt{3},$$
$$x=\frac{\sqrt{3}}{6}.$$
Теперь найдём значение функции:
$$f\!\left(\frac{\sqrt{3}}{6}\right)=-3\left(\frac{\sqrt{3}}{6}\right)^2+2\sqrt{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{6}-2=-\frac14+\frac12-2=-\frac54.$$
Ответ: $$\left(\frac{\sqrt{3}}{6};\,-\frac54\right).$$
3) $$f(x)=\sqrt{3x+2},\quad a=45^\circ$$
Область определения: $$3x+2\ge 0.$$
Производная:
$$f'(x)=\frac{3}{2\sqrt{3x+2}}.$$
Так как $$\tan 45^\circ=1,$$ получаем
$$\frac{3}{2\sqrt{3x+2}}=1,$$
$$3=2\sqrt{3x+2},$$
$$9=4(3x+2),$$
$$9=12x+8,$$
$$12x=1,$$
$$x=\frac{1}{12}.$$
Тогда
$$f\!\left(\frac{1}{12}\right)=\sqrt{3\cdot \frac{1}{12}+2}=\sqrt{\frac14+2}=\sqrt{\frac94}=\frac32.$$
Ответ: $$\left(\frac{1}{12};\,\frac32\right).$$
4) $$f(x)=\frac{x+7}{x-2},\quad a=135^\circ$$
Область определения: $$x\ne 2.$$
Производная:
$$f'(x)=\frac{(x+7)'(x-2)-(x+7)(x-2)’}{(x-2)^2}=\frac{(x-2)-(x+7)}{(x-2)^2}=-\frac{9}{(x-2)^2}.$$
Так как $$\tan 135^\circ=-1,$$ то
$$-\frac{9}{(x-2)^2}=-1,$$
$$9=(x-2)^2,$$
$$x^2-4x+4=9,$$
$$x^2-4x-5=0,$$
$$\left(x-5\right)\left(x+1\right)=0.$$
Отсюда $$x=5$$ или $$x=-1.$$
Найдём ординаты точек:
$$f(-1)=\frac{-1+7}{-1-2}=\frac{6}{-3}=-2,$$
$$f(5)=\frac{5+7}{5-2}=\frac{12}{3}=4.$$
Ответ: $$\left(-1;\,-2\right),\ \left(5;\,4\right).$$
