Упр.37.10 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)
1) f(x)=x^2-7x+3, a=45°; 3) f(x)=v(3x+2), a=45°;
2) f(x)=-3x^2+2v3x-2, a=60°; 4) f(x)=(x+7)/(x-2), a=135°.
$$f(x)=x^2-7x+3,\quad a=45^\circ$$
Угловой коэффициент касательной равен $$\tan a=\tan 45^\circ=1.$$
Найдём производную:
$$f'(x)=2x-7.$$
Приравниваем её к угловому коэффициенту касательной:
$$2x-7=1,$$
$$2x=8,$$
$$x=4.$$
Тогда
$$f(4)=4^2-7\cdot 4+3=16-28+3=-9.$$
Точка графика: $$\left(4;\,-9\right).$$
$$f(x)=-3x^2+2\sqrt{3}\,x-2,\quad a=60^\circ$$
$$\tan a=\tan 60^\circ=\sqrt{3}.$$
Найдём производную:
$$f'(x)=-6x+2\sqrt{3}.$$
Приравниваем:
$$-6x+2\sqrt{3}=\sqrt{3},$$
$$-6x=-\sqrt{3},$$
$$x=\frac{\sqrt{3}}{6}.$$
Тогда
$$f\left(\frac{\sqrt{3}}{6}\right)=-3\left(\frac{\sqrt{3}}{6}\right)^2+2\sqrt{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{6}-2=-\frac14+\frac12-2=-\frac54.$$
Точка графика: $$\left(\frac{\sqrt{3}}{6};\,-\frac54\right).$$
$$f(x)=\sqrt{3x+2},\quad a=45^\circ$$
$$\tan a=\tan 45^\circ=1.$$
Найдём производную:
$$f'(x)=\frac{3}{2\sqrt{3x+2}}.$$
Приравниваем:
$$\frac{3}{2\sqrt{3x+2}}=1,$$
$$3=2\sqrt{3x+2},$$
$$9=4(3x+2),$$
$$9=12x+8,$$
$$12x=1,$$
$$x=\frac{1}{12}.$$
Тогда
$$f\left(\frac{1}{12}\right)=\sqrt{3\cdot \frac{1}{12}+2}=\sqrt{\frac14+2}=\sqrt{\frac94}=\frac32.$$
Точка графика: $$\left(\frac{1}{12};\,\frac32\right).$$
$$f(x)=\frac{x+7}{x-2},\quad a=135^\circ$$
$$\tan a=\tan 135^\circ=-1.$$
Найдём производную:
$$f'(x)=\frac{(x+7)'(x-2)-(x+7)(x-2)’}{(x-2)^2}=\frac{(x-2)-(x+7)}{(x-2)^2}=-\frac{9}{(x-2)^2}.$$
Приравниваем:
$$-\frac{9}{(x-2)^2}=-1,$$
$$9=(x-2)^2,$$
$$x^2-4x-5=0,$$
$$x=-1 \text{ или } x=5.$$
Найдём ординаты точек:
$$f(-1)=\frac{-1+7}{-1-2}=\frac{6}{-3}=-2,$$
$$f(5)=\frac{5+7}{5-2}=\frac{12}{3}=4.$$
Точки графика: $$(-1;\,-2)$$ и $$\left(5;\,4\right).$$
Ответ
1) $$\left(4;\,-9\right)$$; 2) $$\left(\frac{\sqrt{3}}{6};\,-\frac54\right)$$; 3) $$\left(\frac{1}{12};\,\frac32\right)$$; 4) $$(-1;\,-2),\ \left(5;\,4\right).$$
