Упр.36.9 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

Задайте с помощью формул сложные функции $$y=f(g(x))$$ и $$y=g(f(x))$$, если:

1) $$f(x)=\sin(x)$$, $$g(x)=x^2-1$$;

3) $$f(x)=\sqrt{x}$$, $$g(x)=\frac{x}{x-1}$$;

2) $$f(x)=x^4$$, $$g(x)=5x+2$$;

4) $$f(x)=\frac{1}{x}$$, $$g(x)=2x^2-3x+1$$.

1) $$f(x)=\sin x,\quad g(x)=x^2-1$$

$$y=f(g(x))=f(x^2-1)=\sin(x^2-1)$$

$$y=g(f(x))=g(\sin x)=(\sin x)^2-1=\sin^2 x-1=-\cos^2 x$$

2) $$f(x)=x^4,\quad g(x)=5x+2$$

$$y=f(g(x))=f(5x+2)=(5x+2)^4$$

$$y=g(f(x))=g(x^4)=5x^4+2$$

3) $$f(x)=\sqrt{x},\quad g(x)=\frac{x}{x-1}$$

$$y=f(g(x))=f\!\left(\frac{x}{x-1}\right)=\sqrt{\frac{x}{x-1}}$$

$$y=g(f(x))=g(\sqrt{x})=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}$$

4) $$f(x)=\frac{1}{x},\quad g(x)=2x^2-3x+1$$

$$y=f(g(x))=f(2x^2-3x+1)=\frac{1}{2x^2-3x+1}$$

$$y=g(f(x))=g\!\left(\frac{1}{x}\right)=2\left(\frac{1}{x}\right)^2-3\left(\frac{1}{x}\right)+1=\frac{2}{x^2}-\frac{3}{x}+1$$

Ответ:

1) $$y=\sin(x^2-1),\quad y=\sin^2 x-1=-\cos^2 x$$

2) $$y=(5x+2)^4,\quad y=5x^4+2$$

3) $$y=\sqrt{\frac{x}{x-1}},\quad y=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}$$

4) $$y=\frac{1}{2x^2-3x+1},\quad y=\frac{2}{x^2}-\frac{3}{x}+1$$