Упр.36.8 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

Вычислите значение производной функции f в точке $$x_0$$:

1) $$f(x)=\sqrt{x}-16x$$, $$x_0=\frac{1}{4}$$;

3) $$f(x)=x^{-2}-4x^{-3}$$, $$x_0=2$$;

2) $$f(x)=\frac{\cos x}{1-x}$$, $$x_0=0$$;

4) $$f(x)=\frac{2x^2-3x-1}{x+1}$$, $$x_0=1$$.

1) $$f(x)=\sqrt{x}-16x,\quad x_0=\frac14.$$

Найдём производную:

$$f'(x)=\left(\sqrt{x}\right)’-(16x)’=\frac{1}{2\sqrt{x}}-16.$$

Подставим $$x=\frac14$$:

$$f’\!\left(\frac14\right)=\frac{1}{2\sqrt{\frac14}}-16=\frac{1}{2\cdot \frac12}-16=1-16=-15.$$

2) $$f(x)=\frac{\cos x}{1-x},\quad x_0=0.$$

По формуле производной частного:

$$f'(x)=\frac{(\cos x)'(1-x)-\cos x\,(1-x)’}{(1-x)^2}.$$

Тогда

$$f'(x)=\frac{-\sin x\,(1-x)-\cos x\cdot(-1)}{(1-x)^2} =\frac{\cos x-(1-x)\sin x}{(1-x)^2}.$$

Подставим $$x=0$$:

$$f'(0)=\frac{\cos 0-(1-0)\sin 0}{(1-0)^2}=\frac{1-1\cdot 0}{1^2}=1.$$

3) $$f(x)=x^{-2}-4x^{-3},\quad x_0=2.$$

Найдём производную:

$$f'(x)=(x^{-2})’-4(x^{-3})’=-2x^{-3}-4\cdot(-3x^{-4})=-2x^{-3}+12x^{-4}.$$

Подставим $$x=2$$:

$$f'(2)=-2\cdot 2^{-3}+12\cdot 2^{-4}=-\frac{2}{8}+\frac{12}{16}=-\frac14+\frac34=\frac12.$$

4) $$f(x)=\frac{2x^2-3x-1}{x+1},\quad x_0=1.$$

По формуле производной частного:

$$f'(x)=\frac{(2x^2-3x-1)'(x+1)-(2x^2-3x-1)(x+1)’}{(x+1)^2}.$$

Тогда

$$f'(x)=\frac{(4x-3)(x+1)-(2x^2-3x-1)}{(x+1)^2}.$$

Упростим числитель:

$$f'(x)=\frac{4x^2+x-3-2x^2+3x+1}{(x+1)^2} =\frac{2x^2+4x-2}{(x+1)^2}.$$

Подставим $$x=1$$:

$$f'(1)=\frac{2\cdot 1^2+4\cdot 1-2}{(1+1)^2}=\frac{4}{4}=1.$$

Ответ

1) $$-15$$; 2) $$1$$; 3) $$\frac12$$; 4) $$1$$.