Упр.36.7 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

1. Чему равно значение производной функции $$f$$ в точке $$x_0$$, если:
   
   1) $$f(x)=\frac{8}{x}+5x-2$$, $$x_0=2$$;
   
   4) $$f(x)=(1+3x)\sqrt{x}$$, $$x_0=9$$;
   
   2) $$f(x)=\frac{2-3x}{x+2}$$, $$x_0=-3$$;
   
   5) $$f(x)=3x^{\frac{1}{3}}-10x^{\frac{1}{5}}$$, $$x_0=1$$;
   
   3) $$f(x)=\frac{x^2+2}{x-2}-2\sin x$$, $$x_0=0$$;
   
   6) $$f(x)=x\sin x$$, $$x_0=0$$?

1) $$f(x)=\frac{8}{x}+5x-2,\quad x_0=2$$

$$f'(x)=\left(\frac{8}{x}\right)’+(5x-2)’=-\frac{8}{x^2}+5$$

$$f'(2)=5-\frac{8}{2^2}=5-\frac{8}{4}=3$$

2) $$f(x)=\frac{2-3x}{x+2},\quad x_0=-3$$

$$f'(x)=\frac{(2-3x)'(x+2)-(2-3x)(x+2)’}{(x+2)^2}$$

$$f'(x)=\frac{-3(x+2)-(2-3x)}{(x+2)^2}=\frac{-3x-6-2+3x}{(x+2)^2}=-\frac{8}{(x+2)^2}$$

$$f'(-3)=-\frac{8}{(-3+2)^2}=-8$$

3) $$f(x)=\frac{x^2+2}{x-2}-2\sin x,\quad x_0=0$$

$$f'(x)=\frac{(x^2+2)'(x-2)-(x^2+2)(x-2)’}{(x-2)^2}-2(\sin x)’$$

$$f'(x)=\frac{2x(x-2)-(x^2+2)}{(x-2)^2}-2\cos x=\frac{x^2-4x-2}{(x-2)^2}-2\cos x$$

$$f'(0)=\frac{0^2-4\cdot 0-2}{(0-2)^2}-2\cos 0=-\frac{2}{4}-2\cdot 1=-\frac{5}{2}$$

4) $$f(x)=(1+3x)\sqrt{x},\quad x_0=9$$

$$f'(x)=(1+3x)’\sqrt{x}+(1+3x)(\sqrt{x})’$$

$$f'(x)=3\sqrt{x}+(1+3x)\cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}=\frac{6x+1+3x}{2\sqrt{x}}=\frac{9x+1}{2\sqrt{x}}$$

$$f'(9)=\frac{9\cdot 9+1}{2\sqrt{9}}=\frac{82}{6}=\frac{41}{3}$$

5) $$f(x)=3\sqrt[3]{x}-10\sqrt[5]{x},\quad x_0=1$$

$$f'(x)=3(\sqrt[3]{x})’-10(\sqrt[5]{x})’$$

$$f'(x)=3\cdot \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}-10\cdot \frac{1}{5\sqrt[5]{x^4}}=\frac{1}{\sqrt[3]{x^2}}-\frac{2}{\sqrt[5]{x^4}}$$

$$f'(1)=\frac{1}{\sqrt[3]{1^2}}-\frac{2}{\sqrt[5]{1^4}}=1-2=-1$$

6) $$f(x)=x\sin x,\quad x_0=0$$

$$f'(x)=(x)’\sin x+x(\sin x)’=\sin x+x\cos x$$

$$f'(0)=\sin 0+0\cdot \cos 0=0$$

Ответ

1) $$3$$; 2) $$-8$$; 3) $$-\frac{5}{2}$$; 4) $$\frac{41}{3}$$; 5) $$-1$$; 6) $$0$$.