Упр.36.5 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

1. Найдите производную функции: 1) $$y=\frac{x-1}{x+1}$$; 3) $$y=\frac{x}{x^2-1}$$; 5) $$y=\frac{3-x^2}{4+2x}$$; 2) $$y=\frac{5}{3x-2}$$; 4) $$y=\frac{x^3}{\cos(x)}$$; 6) $$y=\frac{x^2-5x}{x-7}$$.

Используем правило производной частного:

$$\left(\frac{u}{v}\right)’=\frac{u’v-uv’}{v^2}.$$

1. $$y=\frac{x-1}{x+1}$$

   $$y’=\frac{(x-1)'(x+1)-(x-1)(x+1)’}{(x+1)^2}=\frac{1\cdot(x+1)-(x-1)\cdot1}{(x+1)^2}=\frac{2}{(x+1)^2}.$$

2. $$y=\frac{5}{3x-2}$$

   $$y’=\frac{5′(3x-2)-5(3x-2)’}{(3x-2)^2}=\frac{0\cdot(3x-2)-5\cdot3}{(3x-2)^2}=-\frac{15}{(3x-2)^2}.$$

3. $$y=\frac{x}{x^2-1}$$

   $$y’=\frac{x'(x^2-1)-x(x^2-1)’}{(x^2-1)^2}=\frac{1\cdot(x^2-1)-x\cdot2x}{(x^2-1)^2}=\frac{x^2-1-2x^2}{(x^2-1)^2}=-\frac{x^2+1}{(x^2-1)^2}.$$

4. $$y=\frac{x^3}{\cos x}$$

   $$y’=\frac{(x^3)’\cos x-x^3(\cos x)’}{\cos^2 x}=\frac{3x^2\cos x-x^3(-\sin x)}{\cos^2 x}=\frac{3x^2\cos x+x^3\sin x}{\cos^2 x}.$$

5. $$y=\frac{3-x^2}{4+2x}$$

   $$y’=\frac{(3-x^2)'(4+2x)-(3-x^2)(4+2x)’}{(4+2x)^2}$$

   $$=\frac{-2x(4+2x)-(3-x^2)\cdot2}{(4+2x)^2}=\frac{-8x-4x^2-6+2x^2}{(4+2x)^2}$$

   $$=\frac{-2x^2-8x-6}{4(x+2)^2}=-\frac{x^2+4x+3}{2(x+2)^2}.$$

6. $$y=\frac{x^2-5x}{x-7}$$

   $$y’=\frac{(x^2-5x)'(x-7)-(x^2-5x)(x-7)’}{(x-7)^2}$$

   $$=\frac{(2x-5)(x-7)-(x^2-5x)\cdot1}{(x-7)^2}=\frac{2x^2-14x-5x+35-x^2+5x}{(x-7)^2}$$

   $$=\frac{x^2-14x+35}{(x-7)^2}.$$

Ответ:

1) $$y’=\frac{2}{(x+1)^2}$$; 2) $$y’=-\frac{15}{(3x-2)^2}$$; 3) $$y’=-\frac{x^2+1}{(x^2-1)^2}$$; 4) $$y’=\frac{3x^2\cos x+x^3\sin x}{\cos^2 x}$$; 5) $$y’=-\frac{x^2+4x+3}{2(x+2)^2}$$; 6) $$y’=\frac{x^2-14x+35}{(x-7)^2}$$.