Упр.36.25 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

1) f'(0), если f(x)=v((x-1)(2x-1));
2) f'(?/3), если f(x)=sin^2(x/2).

1. $$f(x)=\sqrt{\frac{x-1}{2x-1}}.$$

   Обозначим $$u=\frac{x-1}{2x-1}$$, тогда $$f(x)=\sqrt{u}.$$ По правилу производной сложной функции:

   $$f'(x)=u’\cdot \frac{1}{2\sqrt{u}}.$$

   Найдём $$u’$$:

   $$ u’=\frac{(x-1)'(2x-1)-(x-1)(2x-1)’}{(2x-1)^2} =\frac{1\cdot(2x-1)-(x-1)\cdot 2}{(2x-1)^2} =\frac{1}{(2x-1)^2}. $$

   Тогда

   $$ f'(x)=\frac{1}{(2x-1)^2}\cdot \frac{1}{2\sqrt{\frac{x-1}{2x-1}}}. $$

   Подставим $$x=0$$:

   $$ f'(0)=\frac{1}{(2\cdot 0-1)^2}\cdot \frac{1}{2\sqrt{\frac{0-1}{2\cdot 0-1}}} =\frac{1}{1}\cdot \frac{1}{2\sqrt{1}} =\frac12. $$

2. $$f(x)=\sin^2\frac{x}{2}.$$

   Пусть $$u=\sin\frac{x}{2}$$, тогда $$f(x)=u^2.$$ По правилу цепочки:

   $$ f'(x)=2u\cdot u’ =2\sin\frac{x}{2}\cdot \frac12\cos\frac{x}{2} =\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2} =\frac12\sin x. $$

   Теперь найдём значение производной при $$x=\frac{\pi}{3}$$:

   $$ f’\left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac12\sin\frac{\pi}{3} =\frac12\cdot \frac{\sqrt3}{2} =\frac{\sqrt3}{4}. $$

Ответ

1) $$\frac12$$; 2) $$\frac{\sqrt3}{4}$$.