Упр.36.24 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

1. Найдите производную функции:
   1) $$y=\cos^3(2x);$$
   2) $$y=vsin\left(\frac{x}{5}-\frac{?}{4}\right);$$
   3) $$y=\left(\sin\left(\frac{x}{3}\right)-5\right)^6.$$

Найдём производные по правилу цепочки.

1. $$y=\cos^3 2x$$

   Пусть $$u=\cos 2x$$, тогда $$y=u^3$$. Тогда

   $$y’=(u^3)’=3u^2\cdot u’$$

   $$u’=(\cos 2x)’=-2\sin 2x$$

   Следовательно,

   $$y’=3\cos^2 2x\cdot(-2\sin 2x)=-6\sin 2x\cos^2 2x.$$

2. $$y=\sqrt{\sin\left(\frac{x}{5}-\frac{\pi}{4}\right)}$$

   Пусть $$u=\sin\left(\frac{x}{5}-\frac{\pi}{4}\right)$$, тогда $$y=\sqrt{u}$$. Тогда

   $$y’=(\sqrt{u})’=\frac{u’}{2\sqrt{u}}$$

   $$u’=\cos\left(\frac{x}{5}-\frac{\pi}{4}\right)\cdot \frac{1}{5}$$

   Следовательно,

   $$y’=\frac{\cos\left(\frac{x}{5}-\frac{\pi}{4}\right)}{10\sqrt{\sin\left(\frac{x}{5}-\frac{\pi}{4}\right)}}.$$

3. $$y=\left(\sin\frac{x}{3}-5\right)^6$$

   Пусть $$u=\sin\frac{x}{3}-5$$, тогда $$y=u^6$$. Тогда

   $$y’=(u^6)’=6u^5\cdot u’$$

   $$u’=\left(\sin\frac{x}{3}-5\right)’=\cos\frac{x}{3}\cdot \frac{1}{3}$$

   Следовательно,

   $$y’=6\left(\sin\frac{x}{3}-5\right)^5\cdot \frac{1}{3}\cos\frac{x}{3}=2\cos\frac{x}{3}\left(\sin\frac{x}{3}-5\right)^5.$$

Ответ

$$1)\ y’=-6\sin 2x\cos^2 2x;$$

$$2)\ y’=\frac{\cos\left(\frac{x}{5}-\frac{\pi}{4}\right)}{10\sqrt{\sin\left(\frac{x}{5}-\frac{\pi}{4}\right)}};$$

$$3)\ y’=2\cos\frac{x}{3}\left(\sin\frac{x}{3}-5\right)^5.$$