Упр.36.20 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

Найдите производную функции:

1. $$y=\frac{1}{x}+\frac{6}{x^2}-\frac{5}{x^6}$$;
2. $$y=\sin(2x)\cos(x)$$;
3. $$y=x\sqrt{x+3}$$;
4. $$y=(x+2)^5(x-3)^4$$.

1) $$y=\frac{1}{x}+\frac{6}{x^2}-\frac{5}{x^6}$$

$$y’=\left(\frac{1}{x}\right)’+6\left(\frac{1}{x^2}\right)’-5\left(\frac{1}{x^6}\right)’ \\\\ y’=-\frac{1}{x^2}+6\cdot(-2x^{-3})-5\cdot(-6x^{-7}) \\\\ y’=-\frac{1}{x^2}-\frac{12}{x^3}+\frac{30}{x^7}$$

Приведём к общему знаменателю:

$$y’=\frac{30-x^5-12x^4}{x^7}$$

2) $$y=x\sqrt{x+3}$$

$$y’=(x)’\sqrt{x+3}+x\left(\sqrt{x+3}\right)’ \\\\ y’=\sqrt{x+3}+x\cdot\frac{1}{2\sqrt{x+3}} \\\\ y’=\frac{2(x+3)}{2\sqrt{x+3}}+\frac{x}{2\sqrt{x+3}} \\\\ y’=\frac{3x+6}{2\sqrt{x+3}}=\frac{3(x+2)}{2\sqrt{x+3}}$$

3) $$y=\sin 2x\cdot \cos x$$

$$y’=(\sin 2x)’\cos x+\sin 2x\cdot(\cos x)’ \\\\ y’=2\cos 2x\cdot \cos x+\sin 2x\cdot(-\sin x) \\\\ y’=2\cos x\cos 2x-\sin x\sin 2x$$

4) $$y=(x+2)^5(x-3)^4$$

$$y’=\bigl((x+2)^5\bigr)'(x-3)^4+(x+2)^5\bigl((x-3)^4\bigr)’ \\\\ y’=5(x+2)^4(x-3)^4+4(x+2)^5(x-3)^3 \\\\ y’=(x+2)^4(x-3)^3\bigl(5(x-3)+4(x+2)\bigr) \\\\ y’=(x+2)^4(x-3)^3(9x-7)$$

Ответ

1) $$y’=\frac{30-x^5-12x^4}{x^7}$$
2) $$y’=\frac{3(x+2)}{2\sqrt{x+3}}$$
3) $$y’=2\cos x\cos 2x-\sin x\sin 2x$$
4) $$y’=(x+2)^4(x-3)^3(9x-7)$$