Упр.36.18 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

Найдите угловой коэффициент касательной, проведённой к графику функции f в точке с абсциссой $$x_0$$:

1. $$f(x)=v(4-3x),\quad x_0=0$$;
2. $$f(x)=\operatorname{tg}(2x),\quad x_0=?/8$$.

1) $$f(x)=\sqrt{4-3x}, \quad x_0=0.$$

Пусть $$u=4-3x,$$ тогда $$f(x)=\sqrt{u}.$$

Найдём производную по правилу цепочки:

$$f'(x)=(4-3x)’\cdot(\sqrt{u})’=-3\cdot \frac{1}{2\sqrt{u}}=-\frac{3}{2\sqrt{4-3x}}.$$

Тогда

$$f'(0)=-\frac{3}{2\sqrt{4-3\cdot 0}}=-\frac{3}{2\sqrt{4}}=-\frac{3}{2\cdot 2}=-\frac{3}{4}.$$

2) $$f(x)=\tg 2x, \quad x_0=\frac{\pi}{8}.$$

Пусть $$u=2x,$$ тогда $$f(x)=\tg u.$$

По правилу цепочки:

$$f'(x)=(2x)’\cdot(\tg u)’=2\cdot \frac{1}{\cos^2 u}=\frac{2}{\cos^2 2x}.$$

Тогда

$$f’\left(\frac{\pi}{8}\right)=\frac{2}{\cos^2\left(2\cdot \frac{\pi}{8}\right)}=\frac{2}{\cos^2 \frac{\pi}{4}}=\frac{2}{\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2}=\frac{2}{\frac12}=4.$$

Ответ

1) $$-\frac{3}{4}$$; 2) $$4$$.