Упр.36.14 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

1) делает замену 2x=t и получает функцию y=sin(t);
2) далее пишет: y’=(sin t)’=cos(t);
3) потом подставляет значение 2x=t и делает вывод, что (sin 2x)’=cos(2x).
В чём ошибка этого ученика?

Функция $$y=\sin 2x$$ является сложной: можно ввести промежуточную переменную $$t=2x,$$ тогда $$y=\sin t.$$

Но при нахождении производной нужно применять правило производной сложной функции:

$$y’=(\sin t)’ \cdot t’=\cos t \cdot 2=2\cos 2x.$$

Ошибка ученика в том, что он нашёл только производную внешней функции $$\sin t,$$ то есть получил $$\cos t,$$ но не умножил на производную внутренней функции $$t=2x,$$ которая равна $$2.$$

Ответ

Ошибка в том, что не учтена производная внутренней функции $$2x.$$ Правильно: $$\left(\sin 2x\right)’=2\cos 2x.$$