Упр.35.9 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

1. Вычислите значение производной функции f в точке $$x_0$$: 1) $$f(x)=x\cdot x^{1/4},\ x_0=256$$; 2) $$f(x)=(x\sqrt{x})^{1/8},\ x_0=1$$.

1) $$f(x)=x\sqrt[4]{x}=x\cdot x^{\frac14}=x^{\frac54}.$$

Тогда

$$f'(x)=\frac54x^{\frac14}.$$

Найдём значение производной в точке $$x_0=256$$:

$$f'(256)=\frac54\cdot \sqrt[4]{256}=\frac54\cdot 4=5.$$

Ответ: $$5$$.

2) $$f(x)=\sqrt[8]{x\sqrt{x}}=\left(x\cdot x^{\frac12}\right)^{\frac18}=\left(x^{\frac32}\right)^{\frac18}=x^{\frac{3}{16}}.$$

Тогда

$$f'(x)=\frac{3}{16}x^{-\frac{13}{16}}.$$

При $$x_0=1$$ получаем:

$$f'(1)=\frac{3}{16}\cdot 1^{-\frac{13}{16}}=\frac{3}{16}.$$

Ответ: $$\frac{3}{16}$$.