Упр.35.8 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

1. Вычислите значение производной функции $$f$$ в точке $$x_0$$:
   1) $$f(x)=x\sqrt{x},\ x_0=81$$;
   3) $$f(x)=\sqrt{x\sqrt{x}},\ x_0=16$$;
   2) $$f(x)=x^3\sqrt[4]{x},\ x_0=1$$;
   4) $$f(x)=\frac{x^2}{\sqrt[6]{x}},\ x_0=64$$.

1) $$f(x)=x\sqrt{x}=x^{\frac32}.$$

Тогда

$$f'(x)=\frac32x^{\frac12}=\frac{3\sqrt{x}}{2}.$$

$$f'(81)=\frac{3\sqrt{81}}{2}=\frac{3\cdot 9}{2}=\frac{27}{2}=13{,}5.$$

2) $$f(x)=x^3\sqrt[4]{x}=x^3\cdot x^{\frac14}=x^{\frac{13}{4}}.$$

Тогда

$$f'(x)=\frac{13}{4}x^{\frac94}.$$

$$f'(1)=\frac{13}{4}=3{,}25.$$

3) $$f(x)=\sqrt{x\sqrt{x}}=\sqrt{x\cdot x^{\frac12}}=\sqrt{x^{\frac32}}=x^{\frac34}.$$

Тогда

$$f'(x)=\frac34x^{-\frac14}=\frac{3}{4\sqrt[4]{x}}.$$

$$f'(16)=\frac{3}{4\sqrt[4]{16}}=\frac{3}{4\cdot 2}=\frac{3}{8}.$$

4) $$f(x)=\frac{x^2}{\sqrt[6]{x}}=x^2\cdot x^{-\frac16}=x^{\frac{11}{6}}.$$

Тогда

$$f'(x)=\frac{11}{6}x^{\frac56}.$$

$$f'(64)=\frac{11}{6}\cdot 64^{\frac56}=\frac{11}{6}\cdot \left(2^6\right)^{\frac56}=\frac{11}{6}\cdot 2^5=\frac{11\cdot 32}{6}=\frac{176}{3}.$$

Ответ

1) $$13{,}5$$; 2) $$3{,}25$$; 3) $$\frac{3}{8}$$; 4) $$\frac{176}{3}$$.