Упр.35.5 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

Продифференцируйте функцию:

1. $$y=x^{\frac{1}{9}}$$;
2. $$y=x^{\frac{5}{6}}$$;
3. $$y=\frac{1}{x^{\frac{7}{12}}}$$.

1) $$y=x^{\frac19}$$

Найдём производную по формуле $$\left(x^n\right)’=nx^{n-1}$$:

$$y’=\left(x^{\frac19}\right)’=\frac19x^{\frac19-1}=\frac19x^{-\frac89}=\frac{1}{9x^{\frac89}}=\frac{1}{9\sqrt[9]{x^8}}.$$

2) $$y=x^{\frac56}$$

$$y’=\left(x^{\frac56}\right)’=\frac56x^{\frac56-1}=\frac56x^{-\frac16}=\frac{5}{6x^{\frac16}}=\frac{5}{6\sqrt[6]{x}}.$$

3) $$y=\frac{1}{x^{\frac{7}{12}}}$$

Представим функцию в виде степени:

$$y=x^{-\frac{7}{12}}.$$

Тогда

$$y’=\left(x^{-\frac{7}{12}}\right)’=-\frac{7}{12}x^{-\frac{19}{12}}=-\frac{7}{12x^{\frac{19}{12}}}=-\frac{7}{12x\sqrt[12]{x^7}}.$$

Ответ: $$\frac{1}{9\sqrt[9]{x^8}},\ \frac{5}{6\sqrt[6]{x}},\ -\frac{7}{12x\sqrt[12]{x^7}}.$$