Упр.35.27 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

Решите уравнение: $$\frac{5}{x^2-4x+4}-\frac{4}{x^2-4}-\frac{1}{x+2}=0.$$

ОДЗ: $$x^2-4x+4\ne 0,\quad x^2-4\ne 0,\quad x+2\ne 0.$$

Так как $$x^2-4x+4=(x-2)^2,\quad x^2-4=(x-2)(x+2),$$ то уравнение принимает вид

$$\frac{5}{(x-2)^2}-\frac{4}{(x-2)(x+2)}-\frac{1}{x+2}=0.$$

Умножим обе части на $$(x-2)^2(x+2)$$:

$$5(x+2)-4(x-2)-(x-2)^2=0.$$

Раскроем скобки:

$$5x+10-4x+8-(x^2-4x+4)=0,$$

$$5x+10-4x+8-x^2+4x-4=0,$$

$$x^2-5x-14=0.$$

Решим квадратное уравнение:

$$D=(-5)^2-4\cdot 1\cdot(-14)=25+56=81,$$

$$x=\frac{5\pm 9}{2}.$$

Получаем корни:

$$x_1=-2,\quad x_2=7.$$

Проверим ОДЗ: $$x\ne 2,\; x\ne -2.$$

Значит, $$x=-2$$ не подходит, а $$x=7$$ — подходит.

Ответ: $$7$$.