Упр.35.23 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

Касательная к графику функции $$f$$ в точке с абсциссой $$x_0$$ имеет угловой коэффициент $$k$$. Найдите $$x_0$$, если:

1. 1) $$f(x)=x^4$$, $$k=-32$$; 3) $$f(x)=\frac{1}{x^3}$$, $$k=-\frac{1}{27}$$; 2) $$f(x)=x^{1/3}$$, $$k=\frac{1}{27}$$; 4) $$f(x)=\cos(x)$$, $$k=1$$.

Найдём производную функции и приравняем её значение в точке $$x_0$$ к угловому коэффициенту касательной: $$f'(x_0)=k.$$

1. $$f(x)=x^4,\quad k=-32.$$

   $$f'(x)=4x^3.$$

   Тогда

   $$4x_0^3=-32,$$

   $$x_0^3=-8,$$

   $$x_0=-2.$$

2. $$f(x)=\sqrt[3]{x},\quad k=\frac{1}{27}.$$

   $$f'(x)=\frac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}}.$$

   Тогда

   $$\frac{1}{3}x_0^{-\frac{2}{3}}=\frac{1}{27},$$

   $$x_0^{-\frac{2}{3}}=\frac{1}{9},$$

   $$x_0^{\frac{2}{3}}=9.$$

   Пусть $$t=x_0^{\frac{1}{3}}$$. Тогда $$t^2=9$$, откуда $$t=\pm 3$$, значит

   $$x_0=t^3=\pm 27.$$

3. $$f(x)=\frac{1}{x^3},\quad k=-\frac{1}{27}.$$

   $$f'(x)=-3x^{-4}=-\frac{3}{x^4}.$$

   Тогда

   $$-\frac{3}{x_0^4}=-\frac{1}{27},$$

   $$\frac{3}{x_0^4}=\frac{1}{27},$$

   $$x_0^4=81,$$

   $$x_0=\pm 3.$$

4. $$f(x)=\cos x,\quad k=1.$$

   $$f'(x)=-\sin x.$$

   Тогда

   $$-\sin x_0=1,$$

   $$\sin x_0=-1.$$

   Следовательно,

   $$x_0=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

Ответ: 1) $$-2$$; 2) $$\pm 27$$; 3) $$\pm 3$$; 4) $$-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}.$$