Упр.35.22 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

Касательная к графику функции f в точке с абсциссой $$x_0$$ имеет угловой коэффициент $$k$$. Найдите $$x_0$$, если:

1. $$f(x)=x^3$$, $$k=3$$;
2. $$f(x)=\frac{1}{x^2}$$, $$k=-\frac{1}{4}$$;
3. $$f(x)=vx$$, $$k=\frac{1}{4}$$;
4. $$f(x)=\sin(x)$$, $$k=0$$.

Угловой коэффициент касательной равен значению производной в точке касания, то есть $$f'(x_0)=k.$$

1. $$f(x)=x^3,\quad k=3.$$

   $$f'(x)=3x^2.$$

   Тогда

   $$3x_0^2=3,$$

   $$x_0^2=1,$$

   $$x_0=\pm 1.$$

2. $$f(x)=\sqrt{x},\quad k=\frac14.$$

   $$f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}.$$

   Тогда

   $$\frac{1}{2\sqrt{x_0}}=\frac14,$$

   $$2\sqrt{x_0}=4,$$

   $$\sqrt{x_0}=2,$$

   $$x_0=4.$$

3. $$f(x)=\frac{1}{x^2},\quad k=-\frac14.$$

   $$f'(x)=\left(x^{-2}\right)’=-2x^{-3}=-\frac{2}{x^3}.$$

   Тогда

   $$-\frac{2}{x_0^3}=-\frac14,$$

   $$\frac{2}{x_0^3}=\frac14,$$

   $$x_0^3=8,$$

   $$x_0=2.$$

4. $$f(x)=\sin x,\quad k=0.$$

   $$f'(x)=\cos x.$$

   Тогда

   $$\cos x_0=0,$$

   $$x_0=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

Ответ: 1) $$x_0=\pm 1$$; 2) $$x_0=4$$; 3) $$x_0=2$$; 4) $$x_0=\frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb{Z}.$$