Упр.35.13 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

1) f(x)=x^4, x_0=-2; 3) f(x)=1/x^3, x_0=-3;
2) f(x)=x^(1/3), x_0=27; 4) f(x)=cos(x), x_0=-?/2.

1. $$f(x)=x^4,\quad x_0=-2$$

   Найдём производную:

   $$f'(x)=4x^3$$

   Тогда угловой коэффициент касательной:

   $$k=f'(-2)=4\cdot(-2)^3=4\cdot(-8)=-32$$

2. $$f(x)=\sqrt[3]{x},\quad x_0=27$$

   Представим функцию в виде степени:

   $$f(x)=x^{\frac13}$$

   Тогда

   $$f'(x)=\frac13x^{-\frac23}=\frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}$$

   Подставим $$x_0=27$$:

   $$k=f'(27)=\frac{1}{3\sqrt[3]{27^2}}=\frac{1}{3\cdot 9}=\frac{1}{27}$$

3. $$f(x)=\frac{1}{x^3},\quad x_0=-3$$

   Запишем функцию как степень:

   $$f(x)=x^{-3}$$

   Тогда

   $$f'(x)=-3x^{-4}=-\frac{3}{x^4}$$

   Подставим $$x_0=-3$$:

   $$k=f'(-3)=-\frac{3}{(-3)^4}=-\frac{3}{81}=-\frac{1}{27}$$

4. $$f(x)=\cos x,\quad x_0=-\frac{\pi}{2}$$

   Найдём производную:

   $$f'(x)=-\sin x$$

   Тогда

   $$k=f’\left(-\frac{\pi}{2}\right)=-\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)=1$$

Ответ

1) $$-32$$; 2) $$\frac{1}{27}$$; 3) $$-\frac{1}{27}$$; 4) $$1$$.