Упр.35.11 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)
- Пользуясь определением производной, найдите $$f'(x)$$, если: 1) $$f(x)=-\frac{1}{x^2}$$; 2) $$f(x)=x^2+3x-2$$.
1) $$f(x)=-\frac{1}{x^2}$$
По определению производной:
$$\Delta f=f(x+\Delta x)-f(x)=-\frac{1}{(x+\Delta x)^2}+\frac{1}{x^2}=\frac{(x+\Delta x)^2-x^2}{x^2(x+\Delta x)^2}.$$
Раскроем скобки:
$$\Delta f=\frac{x^2+2x\Delta x+(\Delta x)^2-x^2}{x^2(x+\Delta x)^2}=\frac{2x\Delta x+(\Delta x)^2}{x^2(x+\Delta x)^2}.$$
Тогда
$$\frac{\Delta f}{\Delta x}=\frac{2x+\Delta x}{x^2(x+\Delta x)^2}.$$
Переходим к пределу:
$$f'(x)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta f}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{2x+\Delta x}{x^2(x+\Delta x)^2}=\frac{2x}{x^2\cdot x^2}=\frac{2}{x^3}.$$
2) $$f(x)=x^2+3x-2$$
По определению производной:
$$\Delta f=f(x+\Delta x)-f(x)=\bigl((x+\Delta x)^2+3(x+\Delta x)-2\bigr)-(x^2+3x-2).$$
Раскроем скобки:
$$\Delta f=x^2+2x\Delta x+(\Delta x)^2+3x+3\Delta x-2-x^2-3x+2=2x\Delta x+(\Delta x)^2+3\Delta x.$$
Тогда
$$\frac{\Delta f}{\Delta x}=2x+\Delta x+3.$$
Переходим к пределу:
$$f'(x)=\lim_{\Delta x\to 0}(2x+\Delta x+3)=2x+3.$$
Ответ
1) $$f'(x)=\frac{2}{x^3}$$; 2) $$f'(x)=2x+3$$.
