Упр.35.11 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

1) f(x)=-1/x^2; 2) f(x)=x^2+3x-2.

1. $$f(x)=-\frac{1}{x^2}$$

   По определению производной:

   $$ \Delta f=f(x+\Delta x)-f(x)=-\frac{1}{(x+\Delta x)^2}+\frac{1}{x^2} $$

   $$ \Delta f=\frac{(x+\Delta x)^2-x^2}{x^2(x+\Delta x)^2} =\frac{2x\Delta x+(\Delta x)^2}{x^2(x+\Delta x)^2} $$

   $$ \frac{\Delta f}{\Delta x}=\frac{2x+\Delta x}{x^2(x+\Delta x)^2} $$

   $$ f'(x)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta f}{\Delta x} =\lim_{\Delta x\to 0}\frac{2x+\Delta x}{x^2(x+\Delta x)^2} =\frac{2x}{x^2\cdot x^2} =\frac{2}{x^3} $$

2. $$f(x)=x^2+3x-2$$

   $$ \Delta f=f(x+\Delta x)-f(x)=\bigl((x+\Delta x)^2+3(x+\Delta x)-2\bigr)-(x^2+3x-2) $$

   $$ \Delta f=x^2+2x\Delta x+(\Delta x)^2+3x+3\Delta x-2-x^2-3x+2 =2x\Delta x+(\Delta x)^2+3\Delta x $$

   $$ \frac{\Delta f}{\Delta x}=2x+\Delta x+3 $$

   $$ f'(x)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta f}{\Delta x} =\lim_{\Delta x\to 0}(2x+\Delta x+3)=2x+3 $$

Ответ

1) $$\frac{2}{x^3}$$; 2) $$2x+3$$.