Упр.35.10 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)
1) f(x)=3/x; 2) f(x)=4-x^2.
$$f(x)=\frac{3}{x}$$
По определению производной:
$$f'(x)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$$
Найдём приращение функции:
$$ \Delta f=f(x+\Delta x)-f(x)=\frac{3}{x+\Delta x}-\frac{3}{x} =\frac{3x-3(x+\Delta x)}{x(x+\Delta x)} =\frac{-3\Delta x}{x(x+\Delta x)} $$
Тогда
$$ \frac{\Delta f}{\Delta x}=\frac{-3}{x(x+\Delta x)} $$
Переходим к пределу:
$$ f'(x)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{-3}{x(x+\Delta x)}=-\frac{3}{x^2} $$
$$f(x)=4-x^2$$
По определению производной:
$$f'(x)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$$
Найдём приращение функции:
$$ \Delta f=f(x+\Delta x)-f(x)=(4-(x+\Delta x)^2)-(4-x^2) $$
$$ \Delta f=4-x^2-2x\Delta x-(\Delta x)^2-4+x^2=-2x\Delta x-(\Delta x)^2 $$
Тогда
$$ \frac{\Delta f}{\Delta x}=-2x-\Delta x $$
Переходим к пределу:
$$ f'(x)=\lim_{\Delta x\to 0}(-2x-\Delta x)=-2x $$
Ответ
1) $$f'(x)=-\frac{3}{x^2}$$; 2) $$f'(x)=-2x$$.
