Упр.34.8 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

1. Тело движется по координатной прямой по закону $$s(t)=5t^2$$ (перемещение измеряется в метрах, время — в секундах). Найдите: 1) среднюю скорость тела при изменении времени от $$t_0=1\ \text{с}$$ до $$t_1=3\ \text{с}$$; 2) мгновенную скорость тела в момент $$t_0=1\ \text{с}$$.

Пусть $$s(t)=5t^2.$$

Найдём приращение пути:

$$\Delta s=s(t_0+\Delta t)-s(t_0)=5(t_0+\Delta t)^2-5t_0^2.$$

Раскроем скобки:

$$\Delta s=5(t_0^2+2t_0\Delta t+\Delta t^2)-5t_0^2=10t_0\Delta t+5\Delta t^2.$$

1)

Средняя скорость на промежутке от $$t_0=1$$ до $$t_1=3$$:

$$v_{\text{ср}}=\frac{\Delta s}{\Delta t}=\frac{s(t_1)-s(t_0)}{t_1-t_0}=\frac{5\cdot 3^2-5\cdot 1^2}{3-1}=\frac{45-5}{2}=\frac{40}{2}=20.$$

2)

Мгновенная скорость в момент $$t_0=1$$:

$$v(t_0)=\lim_{\Delta t\to 0}\frac{\Delta s}{\Delta t}=\lim_{\Delta t\to 0}\frac{10t_0\Delta t+5\Delta t^2}{\Delta t}=\lim_{\Delta t\to 0}(10t_0+5\Delta t)=10t_0.$$

Тогда

$$v(1)=10\cdot 1=10.$$

Ответ: $$20\ \text{м/с};\ 10\ \text{м/с}.$$