Упр.34.5 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

1. Для функции $$f(x)=x^2-x$$ и точки $$x_0$$ найдите $$\frac{\Delta f}{\Delta x}$$ и $$\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta f}{\Delta x}$$.

Дана функция $$f(x)=x^2-x.$$

Найдём приращение функции:

$$\Delta f=f(x_0+\Delta x)-f(x_0).$$

Тогда

$$\Delta f=((x_0+\Delta x)^2-(x_0+\Delta x))-(x_0^2-x_0),$$

$$\Delta f=x_0^2+2x_0\Delta x+(\Delta x)^2-x_0-\Delta x-x_0^2+x_0,$$

$$\Delta f=2x_0\Delta x+(\Delta x)^2-\Delta x.$$

Найдём отношение приращений:

$$\frac{\Delta f}{\Delta x}=\frac{2x_0\Delta x+(\Delta x)^2-\Delta x}{\Delta x}=2x_0+\Delta x-1.$$

Теперь найдём предел при $$\Delta x\to 0$$:

$$\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta f}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to 0}(2x_0+\Delta x-1)=2x_0-1.$$

Ответ

$$\frac{\Delta f}{\Delta x}=2x_0+\Delta x-1,\qquad \lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta f}{\Delta x}=2x_0-1.$$