Упр.34.5 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Полонский 10 класс, Вентана-Граф: 34.5. Для функции f(x)=x^2-x и точки x_0 найдите ?f/?x и (?x > 0)lim(?f/?x).

Для функции $$f(x)=x^2-x$$ найдём приращение функции:

$$\Delta f=f(x_0+\Delta x)-f(x_0).$$

Тогда

$$ \Delta f=((x_0+\Delta x)^2-(x_0+\Delta x))-(x_0^2-x_0) $$

$$ \Delta f=x_0^2+2x_0\Delta x+(\Delta x)^2-x_0-\Delta x-x_0^2+x_0 $$

$$ \Delta f=2x_0\Delta x+(\Delta x)^2-\Delta x. $$

Найдём отношение приращений:

$$ \frac{\Delta f}{\Delta x}=\frac{2x_0\Delta x+(\Delta x)^2-\Delta x}{\Delta x}=2x_0+\Delta x-1. $$

Теперь вычислим предел при $$\Delta x\to 0$$:

$$ \lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta f}{\Delta x} = \lim_{\Delta x\to 0}(2x_0+\Delta x-1) = 2x_0-1. $$

Ответ

$$\frac{\Delta f}{\Delta x}=2x_0+\Delta x-1,\qquad \lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta f}{\Delta x}=2x_0-1.$$