Упр.33.8 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

1. Является ли непрерывной функция $$f$$ в точке $$x_0$$:
   1) $$f(x)=\begin{cases}\frac{6}{x},&\text{если }x<-2;\\x-1,&\text{если }x\geqslant-2,\end{cases}\quad x_0=-2$$;
   2) $$f(x)=\begin{cases}0{,}5x^2,&\text{если }x\leqslant-1;\\x+3,&\text{если }x>-1,\end{cases}\quad x_0=-1$$?

1) Для $$x<-2$$ имеем $$f(x)=\frac{6}{x}$$, а для $$x\ge -2$$ — $$f(x)=x-1$$.

Найдём односторонние пределы в точке $$x_0=-2$$:

$$\lim_{x\to -2-}\frac{6}{x}=\frac{6}{-2}=-3,$$

$$\lim_{x\to -2+}(x-1)=-2-1=-3.$$

Оба односторонних предела равны, значит, функция непрерывна в точке $$x_0=-2$$.

2) Для $$x\le -1$$ имеем $$f(x)=0{,}5x^2$$, а для $$x>-1$$ — $$f(x)=x+3$$.

Найдём односторонние пределы в точке $$x_0=-1$$:

$$\lim_{x\to -1-}0{,}5x^2=0{,}5\cdot(-1)^2=0{,}5,$$

$$\lim_{x\to -1+}(x+3)=-1+3=2.$$

Односторонние пределы не равны, значит, функция не является непрерывной в точке $$x_0=-1$$.

Ответ

1) является; 2) не является.