Упр.33.7 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

1. Выясните, является ли непрерывной функция $$f$$ в точке $$x_0$$:
   1) $$f(x)=\begin{cases}x^2, & \text{если } x<2,\\ x+2, & \text{если } x\geq 2,\end{cases}\quad x_0=2;$$
   2) $$f(x)=\begin{cases}\frac{x}{x}, & \text{если } x\ne 0,\\ 1, & \text{если } x=0,\end{cases}\quad x_0=0;$$
   3) $$f(x)=\begin{cases}x^2, & \text{если } x>1,\\ x-2, & \text{если } x\leq 1,\end{cases}\quad x_0=1.$$

1. $$f(x)=\begin{cases}x^2, & x<2,\\ x+2, & x\ge 2,\end{cases}\qquad x_0=2.$$

   Найдём односторонние пределы и значение функции в точке $$x=2$$:

   $$\lim_{x\to 2-}x^2=2^2=4,$$

   $$\lim_{x\to 2+}(x+2)=2+2=4,$$

   $$f(2)=2+2=4.$$

   Так как предел функции в точке существует и равен значению функции в этой точке, функция непрерывна в точке $$x_0=2$$.

2. $$f(x)=\begin{cases}\dfrac{x}{x}, & x\ne 0,\\ 1, & x=0,\end{cases}\qquad x_0=0.$$

   При $$x\ne 0$$ имеем $$\dfrac{x}{x}=1$$, значит

   $$\lim_{x\to 0}\dfrac{x}{x}=\lim_{x\to 0}1=1.$$

   Кроме того, $$f(0)=1$$. Следовательно, функция непрерывна в точке $$x_0=0$$.

3. $$f(x)=\begin{cases}x^2, & x>1,\\ x-2, & x\le 1,\end{cases}\qquad x_0=1.$$

   Найдём односторонние пределы:

   $$\lim_{x\to 1+}x^2=1^2=1,$$

   $$\lim_{x\to 1-}(x-2)=1-2=-1.$$

   Односторонние пределы не равны, значит предел функции в точке $$x=1$$ не существует. Следовательно, функция не является непрерывной в точке $$x_0=1$$.

Ответ: 1) является; 2) является; 3) не является.