Упр.33.7 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

1) f(x)={(x^2, если x < 2; x+2, если x?2), x_0=2; 2) f(x)={(x/x, если x?0; 1, если x=0), x_0=0; 3) f(x)={(x^2, если x > 1; x-2, если x?1), x_0=1.

1. $$f(x)=\begin{cases}x^2, & x<2,\\ x+2, & x\ge 2,\end{cases}\quad x_0=2.$$

   Найдём односторонние пределы:

   $$\lim_{x\to 2-}x^2=2^2=4,$$

   $$\lim_{x\to 2+}(x+2)=2+2=4.$$

   Они равны, значит, функция непрерывна в точке $$x_0=2$$.

2. $$f(x)=\begin{cases}\dfrac{x}{x}, & x\ne 0,\\ 1, & x=0,\end{cases}\quad x_0=0.$$

   При $$x\ne 0$$ имеем $$\dfrac{x}{x}=1$$, поэтому

   $$\lim_{x\to 0}\dfrac{x}{x}=\lim_{x\to 0}1=1.$$

   Так как $$f(0)=1$$, функция непрерывна в точке $$x_0=0$$.

3. $$f(x)=\begin{cases}x^2, & x>1,\\ x-2, & x\le 1,\end{cases}\quad x_0=1.$$

   Найдём односторонние пределы:

   $$\lim_{x\to 1+}x^2=1^2=1,$$

   $$\lim_{x\to 1-}(x-2)=1-2=-1.$$

   Пределы не равны, значит, функция не является непрерывной в точке $$x_0=1$$.

Ответ

1) является; 2) является; 3) не является.