Упр.33.6 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)
- Выясните, является ли непрерывной функция $$f$$ в точке $$x_0$$:
1) $$f(x)=x^2-1,\ x_0=-1$$;
3) $$f(x)=\frac{|x|}{x},\ x_0=1$$;
2) $$f(x)=\sqrt{x},\ x_0=4$$;
4) $$f(x)=\sqrt{-x},\ x_0=-1$$.
1) $$f(x)=x^2-1,\quad x_0=-1.$$
Многочлен определён и непрерывен при всех $$x\in \mathbb{R}.$$ Значит, функция непрерывна в точке $$x_0=-1.$$
2) $$f(x)=\sqrt{x},\quad x_0=4.$$
Область определения: $$x\ge 0.$$ На этой области функция $$\sqrt{x}$$ непрерывна, а точка $$x_0=4$$ ей принадлежит. Следовательно, функция непрерывна в точке $$x_0=4.$$
3) $$f(x)=\frac{|x|}{x},\quad x_0=1.$$
Область определения: $$x\ne 0.$$ При $$x>0$$ имеем
$$f(x)=\frac{x}{x}=1.$$
Значит, в окрестности точки $$x_0=1$$ функция постоянна, поэтому непрерывна в этой точке.
4) $$f(x)=\sqrt{-x},\quad x_0=-1.$$
Область определения: $$-x\ge 0,$$ то есть $$x\le 0.$$ Функция $$\sqrt{-x}$$ непрерывна на своей области определения, а точка $$x_0=-1$$ ей принадлежит. Следовательно, функция непрерывна в точке $$x_0=-1.$$
Ответ: 1) является; 2) является; 3) является; 4) является.
