Упр.33.2 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

Задача

1) f(x)=2x+1, x_0=1; 2) f(x)=2x+1, x_0=-2;
3) f(x)=(x^2-9)/(x+3), x_0=-1; 5) f(x)=|x-1|/(x-1), x_0=2;
4) f(x)=(x^2-9)/(x+3), x_0=-3; 6) f(x)=|x-1|/(x-1), x_0=1.

Подробный ответ

$$f(x)=2x+1,\quad x_0=1.$$
Функция линейная, значит, непрерывна в любой точке. Тогда
$$\lim_{x\to 1}(2x+1)=2\cdot 1+1=3.$$
Предел существует.
$$f(x)=2x+1,\quad x_0=-2.$$
Функция линейная, значит, непрерывна в любой точке. Тогда
$$\lim_{x\to -2}(2x+1)=2\cdot(-2)+1=-3.$$
Предел существует.
$$f(x)=\frac{x^2-9}{x+3},\quad x_0=-1.$$
Область определения: $$x\neq -3.$$
При $$x\neq -3$$ имеем
$$\frac{x^2-9}{x+3}=\frac{(x-3)(x+3)}{x+3}=x-3.$$
Тогда
$$\lim_{x\to -1}\frac{x^2-9}{x+3}=\lim_{x\to -1}(x-3)=-1-3=-4.$$
Предел существует.
$$f(x)=\frac{x^2-9}{x+3},\quad x_0=-3.$$
Область определения: $$x\neq -3.$$
При $$x\neq -3$$ функция равна $$x-3$$, поэтому
$$\lim_{x\to -3}\frac{x^2-9}{x+3}=\lim_{x\to -3}(x-3)=-3-3=-6.$$
Предел существует.
$$f(x)=\frac{|x-1|}{x-1},\quad x_0=2.$$
При $$x>1$$ имеем $$|x-1|=x-1$$, значит
$$f(x)=\frac{x-1}{x-1}=1.$$
Так как $$2>1$$, то в окрестности точки $$x_0=2$$ функция постоянна и
$$\lim_{x\to 2}\frac{|x-1|}{x-1}=1.$$
Предел существует.
$$f(x)=\frac{|x-1|}{x-1},\quad x_0=1.$$
При $$x>1$$
$$f(x)=1,$$
а при $$x<1$$
$$f(x)=-1.$$
Следовательно,
$$\lim_{x\to 1-}\frac{|x-1|}{x-1}=-1,\qquad \lim_{x\to 1+}\frac{|x-1|}{x-1}=1.$$
Односторонние пределы не равны, значит, общего предела в точке $$x_0=1$$ нет.