Упр.33.1 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)
- Построив график функции $$f$$, выясните, имеет ли функция $$f$$ предел в точке $$x_0$$: 1) $$f(x)=2x-1$$, $$x_0=-1$$; 2) $$f(x)=2x-1$$, $$x_0=0$$; 3) $$f(x)=\frac{x^2-4}{x-2}$$, $$x_0=1$$; 4) $$f(x)=\frac{x^2-4}{x-2}$$, $$x_0=2$$; 5) $$f(x)=\frac{1}{x}$$, $$x_0=-2$$; 6) $$f(x)=\frac{1}{x}$$, $$x_0=0$$; 7) $$f(x)=17$$, $$x_0=3$$; 8) $$f(x)=\frac{|x-2|}{2-x}$$, $$x_0=2$$.
Функция $$f(x)=2x-1$$ — линейная, значит, непрерывна при всех $$x$$. Поэтому
$$\lim_{x\to -1} (2x-1)=2\cdot(-1)-1=-3.$$
Предел существует.
Функция $$f(x)=2x-1$$ непрерывна при всех $$x$$. Тогда
$$\lim_{x\to 0} (2x-1)=2\cdot 0-1=-1.$$
Предел существует.
При $$x\ne 2$$ имеем
$$f(x)=\frac{x^2-4}{x-2}=\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}=x+2.$$
Тогда
$$\lim_{x\to 1}\frac{x^2-4}{x-2}=\lim_{x\to 1}(x+2)=3.$$
Предел существует.
При $$x\ne 2$$ функция совпадает с $$y=x+2$$, но в точке $$x_0=2$$ она не определена. Однако предел существует:
$$\lim_{x\to 2}\frac{x^2-4}{x-2}=\lim_{x\to 2}(x+2)=4.$$
Предел существует.
Функция $$f(x)=\frac{1}{x}$$ непрерывна при $$x\ne 0$$. Поэтому
$$\lim_{x\to -2}\frac{1}{x}=\frac{1}{-2}=-\frac12.$$
Предел существует.
В точке $$x_0=0$$ функция $$f(x)=\frac{1}{x}$$ не имеет конечного предела: при $$x\to 0+$$ значения стремятся к $$+\infty$$, а при $$x\to 0-$$ — к $$-\infty$$.
Следовательно, предела в точке $$x_0=0$$ нет.
Функция $$f(x)=17$$ постоянна, значит, при любом $$x_0$$ её предел равен самому значению функции:
$$\lim_{x\to 3} 17=17.$$
Предел существует.
Рассмотрим функцию
$$f(x)=\frac{|x-2|}{2-x}.$$
Если $$x<2$$, то $$|x-2|=2-x$$, и
$$f(x)=\frac{2-x}{2-x}=1.$$
Если $$x>2$$, то $$|x-2|=x-2$$, и
$$f(x)=\frac{x-2}{2-x}=-1.$$
Левые и правые пределы при $$x\to 2$$ различны:
$$\lim_{x\to 2-} f(x)=1,\qquad \lim_{x\to 2+} f(x)=-1.$$
Значит, предела в точке $$x_0=2$$ нет.
Ответ
1) имеет; 2) имеет; 3) имеет; 4) имеет; 5) имеет; 6) не имеет; 7) имеет; 8) не имеет.
