Упр.33.1 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

Задача

1) f(x)=2x-1, x_0=-1; 5) f(x)=1/x, x_0=-2;
2) f(x)=2x-1, x_0=0; 6) f(x)=1/x, x_0=0;
3) f(x)=(x^2-4)/(x-2), x_0=1; 7) f(x)=17, x_0=3;
4) f(x)=(x^2-4)/(x-2), x_0=2; 8) f(x)=|x-2|/(2-x), x_0=2.

Подробный ответ

$$f(x)=2x-1,\quad x_0=-1.$$
Это линейная функция, она непрерывна при всех $$x$$, значит предел существует:
$$\lim_{x\to -1}(2x-1)=2\cdot(-1)-1=-3.$$
$$f(x)=2x-1,\quad x_0=0.$$
Функция непрерывна, поэтому
$$\lim_{x\to 0}(2x-1)=2\cdot 0-1=-1.$$
$$f(x)=\frac{x^2-4}{x-2},\quad x_0=1.$$
При $$x\ne 2$$:
$$\frac{x^2-4}{x-2}=\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}=x+2.$$
Тогда
$$\lim_{x\to 1}\frac{x^2-4}{x-2}=\lim_{x\to 1}(x+2)=3.$$
$$f(x)=\frac{x^2-4}{x-2},\quad x_0=2.$$
Для $$x\ne 2$$ имеем $$f(x)=x+2$$, поэтому
$$\lim_{x\to 2}\frac{x^2-4}{x-2}=\lim_{x\to 2}(x+2)=4.$$
$$f(x)=\frac{1}{x},\quad x_0=-2.$$
Функция непрерывна в точке $$x=-2$$, значит
$$\lim_{x\to -2}\frac{1}{x}=\frac{1}{-2}=-\frac12.$$
$$f(x)=\frac{1}{x},\quad x_0=0.$$
В точке $$x=0$$ функция не определена, поэтому предела в этой точке нет.
$$f(x)=17,\quad x_0=3.$$
Постоянная функция имеет предел, равный самому постоянному значению:
$$\lim_{x\to 3}17=17.$$
$$f(x)=\frac{|x-2|}{2-x},\quad x_0=2.$$
При $$x<2$$:
$$|x-2|=2-x,\quad f(x)=\frac{2-x}{2-x}=1.$$
При $$x>2$$:
$$|x-2|=x-2,\quad f(x)=\frac{x-2}{2-x}=-1.$$
Левые и правые пределы различны, значит общего предела в точке $$x=2$$ нет.