Упр.32.9 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

Задача

1) ((x-1)(x+3)^3)/(x+2)^2?0;
2) (x^2-5x+3)/(x^2-6x+8)?0;
3) ((x+1)(x-3)^2)/(x+4)?0.

Подробный ответ

$$\frac{(x-1)(x+3)^3}{(x+2)^2}\le 0$$
Так как $$\,(x+2)^2>0\,$$ при $$x\ne -2,$$ знак дроби определяется числителем:
$$ (x-1)(x+3)^3\le 0,\quad x\ne -2.$$
Поскольку степень $$3$$ нечётная, знак множителя $$\,(x+3)^3\,$$ совпадает со знаком $$x+3$$. Тогда
$$ (x-1)(x+3)\le 0,\quad x\ne -2.$$
Отсюда
$$-3\le x\le 1,$$
но точка $$x=-2$$ не входит в область определения.
Итак,
$$x\in[-3;-2)\cup(-2;1].$$
$$\frac{x^2-5x+4}{x^2-6x+8}\ge 0$$
Разложим на множители:
$$x^2-5x+4=(x-1)(x-4),$$
$$x^2-6x+8=(x-2)(x-4).$$
Тогда
$$\frac{(x-1)(x-4)}{(x-2)(x-4)}\ge 0,\quad x\ne 2,\; x\ne 4.$$
Сократим на $$x-4$$, учитывая, что $$x\ne 4$$:
$$\frac{x-1}{x-2}\ge 0,\quad x\ne 4.$$
Решаем методом интервалов:
$$x\le 1 \quad \text{или} \quad x>2.$$
С учётом ограничений $$x\ne 2$$ и $$x\ne 4$$ получаем
$$x\in(-\infty;1]\cup(2;4)\cup(4;+\infty).$$
$$\frac{(x+1)(x-3)^2}{x+4}\le 0$$
Область определения: $$x\ne -4.$$
Так как $$\,(x-3)^2\ge 0\,$$ и обращается в ноль при $$x=3,$$ рассмотрим знак выражения
$$\frac{x+1}{x+4}\le 0,\quad x\ne -4,\; x=3.$$
Решаем неравенство:
$$-4<x\le -1.$$
Кроме того, точка $$x=3$$ даёт нуль числителя исходной дроби, значит она тоже подходит.
Итак,
$$x\in(-4;-1]\cup\{3\}.$$