Упр.32.8 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

Решите неравенства:

1. $$-\frac{\sqrt{3}}{2}<\cos x<-\frac{1}{2}$$;
2. $$-4<\operatorname{ctg}x<1{,}5$$;
3. $$\frac{1}{3}?\,\sin x<\frac{1}{2}$$;
4. $$-\frac{\sqrt{3}}{3}<\operatorname{tg}x<1$$.

1) $$-\frac{\sqrt{3}}{2}<\cos x\le -\frac12.$$

Рассмотрим каждую часть неравенства:

$$\cos x>-\frac{\sqrt{3}}{2}, \qquad \cos x\le -\frac12.$$

Из $$\cos x>-\frac{\sqrt{3}}{2}$$ получаем

$$-\frac{5\pi}{6}+2\pi n<x<\frac{5\pi}{6}+2\pi n.$$

Из $$\cos x\le -\frac12$$ получаем

$$\frac{2\pi}{3}+2\pi n\le x\le \frac{4\pi}{3}+2\pi n.$$

Пересечение этих промежутков:

$$x\in\left[\frac{2\pi}{3}+2\pi n;\,\frac{5\pi}{6}+2\pi n\right), \quad n\in\mathbb Z.$$

2) $$\frac13\le \sin x<\frac12.$$

Рассмотрим каждую часть неравенства:

$$\sin x\ge \frac13, \qquad \sin x<\frac12.$$

Из $$\sin x\ge \frac13$$ получаем

$$\arcsin\frac13+2\pi n\le x\le \pi-\arcsin\frac13+2\pi n.$$

Из $$\sin x<\frac12$$ получаем

$$-\frac{7\pi}{6}+2\pi n<x<\frac{\pi}{6}+2\pi n.$$

Пересечение этих промежутков:

$$x\in\left[\arcsin\frac13+2\pi n;\,\frac{\pi}{6}+2\pi n\right), \quad n\in\mathbb Z.$$

3) $$-4<\ctg x<1{,}5.$$

Так как функция $$\ctg x$$ убывает на каждом промежутке $$\left(\pi n;\,\pi+\pi n\right)$$, то

$$\ctg x>-4 \iff x<\pi-\operatorname{arcctg}4+\pi n,$$

$$\ctg x<1{,}5 \iff x>\operatorname{arcctg}1{,}5+\pi n.$$

Следовательно,

$$x\in\left(\operatorname{arcctg}1{,}5+\pi n;\,\pi-\operatorname{arcctg}4+\pi n\right), \quad n\in\mathbb Z.$$

4) $$-\frac{\sqrt{3}}{3}<\tg x<1.$$

Так как функция $$\tg x$$ возрастает на каждом промежутке $$\left(-\frac{\pi}{2}+\pi n;\,\frac{\pi}{2}+\pi n\right)$$, имеем:

$$\tg x>-\frac{\sqrt{3}}{3}\iff x>-\frac{\pi}{6}+\pi n,$$

$$\tg x<1\iff x<\frac{\pi}{4}+\pi n.$$

Тогда

$$x\in\left(-\frac{\pi}{6}+\pi n;\,\frac{\pi}{4}+\pi n\right), \quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

1) $$\left[\frac{2\pi}{3}+2\pi n;\,\frac{5\pi}{6}+2\pi n\right),\ n\in\mathbb Z.$$

2) $$\left[\arcsin\frac13+2\pi n;\,\frac{\pi}{6}+2\pi n\right),\ n\in\mathbb Z.$$

3) $$\left(\operatorname{arcctg}1{,}5+\pi n;\,\pi-\operatorname{arcctg}4+\pi n\right),\ n\in\mathbb Z.$$

4) $$\left(-\frac{\pi}{6}+\pi n;\,\frac{\pi}{4}+\pi n\right),\ n\in\mathbb Z.$$