Упр.32.8 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)
1) -v3/2 < cos(x)?-1/2; 3) -4 < ctg(x) < 1,5; 2) 1/3?sin(x) < 1/2; 4) -v3/3 < tg(x) < 1.
$$-\frac{\sqrt{3}}{2}<\cos x\le -\frac12.$$
Рассмотрим по отдельности:
$$\cos x>-\frac{\sqrt{3}}{2} \quad \Rightarrow \quad -\frac{5\pi}{6}+2\pi n<x<\frac{5\pi}{6}+2\pi n,$$
$$\cos x\le -\frac12 \quad \Rightarrow \quad \frac{2\pi}{3}+2\pi n\le x\le \frac{4\pi}{3}+2\pi n.$$
Пересечение этих промежутков:
$$x\in\left(\frac{2\pi}{3}+2\pi n;\,\frac{5\pi}{6}+2\pi n\right], \quad n\in\mathbb Z.$$
$$\frac13\le \sin x<\frac12.$$
Тогда
$$\sin x\ge \frac13 \quad \Rightarrow \quad \arcsin\frac13+2\pi n\le x\le \pi-\arcsin\frac13+2\pi n,$$
$$\sin x<\frac12 \quad \Rightarrow \quad -\frac{7\pi}{6}+2\pi n<x<\frac{\pi}{6}+2\pi n.$$
Пересечение даёт:
$$x\in\left[\arcsin\frac13+2\pi n;\,\frac{\pi}{6}+2\pi n\right), \quad n\in\mathbb Z.$$
$$-4<\ctg x<1{,}5.$$
Так как функция $$\ctg x$$ убывает на каждом промежутке $$\pi n<x<\pi(n+1),$$ получаем:
$$\ctg x>-4 \quad \Rightarrow \quad \pi n<x<\pi-\operatorname{arcctg}4+\pi n,$$
$$\ctg x<1{,}5 \quad \Rightarrow \quad \operatorname{arcctg}1{,}5+\pi n<x<\pi+\pi n.$$
Следовательно,
$$x\in\left(\operatorname{arcctg}1{,}5+\pi n;\,\pi-\operatorname{arcctg}4+\pi n\right), \quad n\in\mathbb Z.$$
$$-\frac{\sqrt{3}}{3}<\tg x<1.$$
На каждом промежутке $$-\frac{\pi}{2}+\pi n<x<\frac{\pi}{2}+\pi n$$ функция $$\tg x$$ возрастает, поэтому:
$$\tg x>-\frac{\sqrt{3}}{3} \quad \Rightarrow \quad -\frac{\pi}{6}+\pi n<x,$$
$$\tg x<1 \quad \Rightarrow \quad x<\frac{\pi}{4}+\pi n.$$
Значит,
$$x\in\left(-\frac{\pi}{6}+\pi n;\,\frac{\pi}{4}+\pi n\right), \quad n\in\mathbb Z.$$
Ответ
1) $$x\in\left(\frac{2\pi}{3}+2\pi n;\,\frac{5\pi}{6}+2\pi n\right],\ n\in\mathbb Z;$$
2) $$x\in\left[\arcsin\frac13+2\pi n;\,\frac{\pi}{6}+2\pi n\right),\ n\in\mathbb Z;$$
3) $$x\in\left(\operatorname{arcctg}1{,}5+\pi n;\,\pi-\operatorname{arcctg}4+\pi n\right),\ n\in\mathbb Z;$$
4) $$x\in\left(-\frac{\pi}{6}+\pi n;\,\frac{\pi}{4}+\pi n\right),\ n\in\mathbb Z.$$
