Упр.32.7 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

1) -v3/2?cos(x) < 1/2; 3) -2 < tg(x) < 3; 2) -1/2?sin(x) < 1/4; 4) -1?ctg(x)?v3.

1. $$-\frac{\sqrt{3}}{2}\le \cos x<\frac12$$

   Решим по отдельности:

   $$\cos x\ge -\frac{\sqrt{3}}{2}$$
   $$x\in\left[-\frac{5\pi}{6}+2\pi n;\,\frac{5\pi}{6}+2\pi n\right],\quad n\in\mathbb Z.$$

   $$\cos x<\frac12$$ $$x\in\left(\frac{\pi}{3}+2\pi n;\,\frac{5\pi}{3}+2\pi n\right),\quad n\in\mathbb Z.$$

   Пересечение этих множеств:

   $$x\in\left[-\frac{5\pi}{6}+2\pi n;\,-\frac{\pi}{3}+2\pi n\right)\cup\left(\frac{\pi}{3}+2\pi n;\,\frac{5\pi}{6}+2\pi n\right],\quad n\in\mathbb Z.$$

2. $$-\frac12\le \sin x<\frac14$$

   Решим по отдельности:

   $$\sin x\ge -\frac12$$
   $$x\in\left[-\frac{\pi}{6}+2\pi n;\,\frac{7\pi}{6}+2\pi n\right],\quad n\in\mathbb Z.$$

   $$\sin x<\frac14$$ $$x\in\left(-\pi-\arcsin\frac14+2\pi n;\,\arcsin\frac14+2\pi n\right)\cup\left(\pi-\arcsin\frac14+2\pi n;\,2\pi+\arcsin\frac14+2\pi n\right),\quad n\in\mathbb Z.$$

   Пересечение даёт:

   $$x\in\left[-\frac{\pi}{6}+2\pi n;\,\arcsin\frac14+2\pi n\right)\cup\left(\pi-\arcsin\frac14+2\pi n;\,\frac{7\pi}{6}+2\pi n\right],\quad n\in\mathbb Z.$$

3. $$-2<\tg x<3$$

   Так как функция $$\tg x$$ возрастает на каждом промежутке $$\left(-\frac{\pi}{2}+\pi n;\,\frac{\pi}{2}+\pi n\right)$$, получаем:

   $$-\arctg 2+\pi n<x<\arctg 3+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

4. $$-1\le \ctg x\le \sqrt{3}$$

   На промежутке $$\left(\pi n;\,\pi+\pi n\right)$$ функция $$\ctg x$$ убывает, поэтому:

   $$\ctg x\ge -1 \;\Rightarrow\; x\le \frac{3\pi}{4}+\pi n,$$
   $$\ctg x\le \sqrt{3} \;\Rightarrow\; x\ge \frac{\pi}{6}+\pi n.$$

   Следовательно,

   $$x\in\left[\frac{\pi}{6}+\pi n;\,\frac{3\pi}{4}+\pi n\right],\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

1) $$\left[-\frac{5\pi}{6}+2\pi n;\,-\frac{\pi}{3}+2\pi n\right)\cup\left(\frac{\pi}{3}+2\pi n;\,\frac{5\pi}{6}+2\pi n\right],\ n\in\mathbb Z$$

2) $$\left[-\frac{\pi}{6}+2\pi n;\,\arcsin\frac14+2\pi n\right)\cup\left(\pi-\arcsin\frac14+2\pi n;\,\frac{7\pi}{6}+2\pi n\right],\ n\in\mathbb Z$$

3) $$-\arctg 2+\pi n<x<\arctg 3+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$

4) $$\left[\frac{\pi}{6}+\pi n;\,\frac{3\pi}{4}+\pi n\right],\ n\in\mathbb Z$$