Упр.32.7 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

Решите неравенство:

1. $$-\frac{\sqrt{3}}{2}\cos(x)<\frac{1}{2}$$;
2. $$-2<\operatorname{tg}(x)<3$$;
3. $$-\frac{1}{2}\sin(x)<\frac{1}{4}$$;
4. $$-1<\operatorname{ctg}(x)<\sqrt{3}$$.

1) Рассмотрим систему неравенств:

$$-\frac{\sqrt{3}}{2}\le \cos x<\frac12.$$

Первое неравенство:

$$\cos x\ge -\frac{\sqrt{3}}{2}.$$

Тогда

$$x\in\left[-\frac{5\pi}{6}+2\pi n;\,\frac{5\pi}{6}+2\pi n\right],\quad n\in\mathbb Z.$$

Второе неравенство:

$$\cos x<\frac12.$$

Отсюда

$$x\in\left(\frac{\pi}{3}+2\pi n;\,\frac{5\pi}{3}+2\pi n\right),\quad n\in\mathbb Z.$$

Пересекаем полученные промежутки:

$$x\in\left[-\frac{5\pi}{6}+2\pi n;\,-\frac{\pi}{3}+2\pi n\right)\cup\left(\frac{\pi}{3}+2\pi n;\,\frac{5\pi}{6}+2\pi n\right],\quad n\in\mathbb Z.$$

2) Рассмотрим систему неравенств:

$$-\frac12\le \sin x<\frac14.$$

Первое неравенство:

$$\sin x\ge -\frac12.$$

Тогда

$$x\in\left[-\frac{\pi}{6}+2\pi n;\,\frac{7\pi}{6}+2\pi n\right],\quad n\in\mathbb Z.$$

Второе неравенство:

$$\sin x<\frac14.$$

Пусть $$\alpha=\arcsin\frac14.$$ Тогда

$$x\in\left(-\pi-\alpha+2\pi n;\,\alpha+2\pi n\right)\cup\left(\pi-\alpha+2\pi n;\,2\pi+\alpha+2\pi n\right),\quad n\in\mathbb Z.$$

Пересечение даёт:

$$x\in\left[-\frac{\pi}{6}+2\pi n;\,\alpha+2\pi n\right)\cup\left(\pi-\alpha+2\pi n;\,\frac{7\pi}{6}+2\pi n\right],\quad n\in\mathbb Z.$$

3) Решим неравенство:

$$-2<\tg x<3.$$

Так как функция $$\tg x$$ возрастает на каждом промежутке $$\left(-\frac{\pi}{2}+\pi n;\,\frac{\pi}{2}+\pi n\right),$$ получаем

$$-\arctg 2+\pi n<x<\arctg 3+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

4) Решим неравенство:

$$-1\le \ctg x\le \sqrt{3}.$$

На каждом промежутке $$\left(\pi n;\,\pi+\pi n\right)$$ функция $$\ctg x$$ убывает, поэтому

$$\ctg x\ge -1 \;\Longrightarrow\; x\le \frac{3\pi}{4}+\pi n,$$

$$\ctg x\le \sqrt{3} \;\Longrightarrow\; x\ge \frac{\pi}{6}+\pi n.$$

Следовательно,

$$x\in\left[\frac{\pi}{6}+\pi n;\,\frac{3\pi}{4}+\pi n\right],\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

1) $$\left[-\frac{5\pi}{6}+2\pi n;\,-\frac{\pi}{3}+2\pi n\right)\cup\left(\frac{\pi}{3}+2\pi n;\,\frac{5\pi}{6}+2\pi n\right],\ n\in\mathbb Z.$$

2) $$\left[-\frac{\pi}{6}+2\pi n;\,\arcsin\frac14+2\pi n\right)\cup\left(\pi-\arcsin\frac14+2\pi n;\,\frac{7\pi}{6}+2\pi n\right],\ n\in\mathbb Z.$$

3) $$-\arctg 2+\pi n<x<\arctg 3+\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$

4) $$\left[\frac{\pi}{6}+\pi n;\,\frac{3\pi}{4}+\pi n\right],\ n\in\mathbb Z.$$