Упр.32.6 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

1) ctg(x+?/6)?v3; 4) tg(x/3+?/4) < v3/3; 2) cos(x/2+?/3) < -v2/2; 5) cos(x-?/6)?1/2; 3) 2sin(2?/3-x) < 1; 6) sin(4x+?/5)?-v3/2.

1. $$\ctg\left(x+\frac{\pi}{6}\right)\ge \sqrt{3}.$$
   Функция $$\ctg t$$ убывает на каждом промежутке $$\left(\pi n;\,\pi(n+1)\right)$$, поэтому
   $$\ctg t\ge \sqrt{3}\iff \pi n
2. $$\cos\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{3}\right)<-\frac{\sqrt{2}}{2}.$$
   Для косинуса
   $$ \cos t<-\frac{\sqrt{2}}{2}\iff \frac{3\pi}{4}+2\pi n<t<\frac{5\pi}{4}+2\pi n. $$
   Значит,
   $$ \frac{3\pi}{4}+2\pi n<\frac{x}{2}+\frac{\pi}{3}<\frac{5\pi}{4}+2\pi n, $$
   $$ \frac{5\pi}{12}+2\pi n<\frac{x}{2}<\frac{11\pi}{12}+2\pi n, $$
   $$ \frac{5\pi}{6}+4\pi n<x<\frac{11\pi}{6}+4\pi n,\quad n\in\mathbb Z. $$
3. $$2\sin\left(\frac{2\pi}{3}-x\right)<1.$$
   Тогда
   $$ \sin\left(\frac{2\pi}{3}-x\right)<\frac12. $$
   Положим $$t=\frac{2\pi}{3}-x$$. Для синуса
   $$ \sin t<\frac12 \iff t\in\left(-\frac{\pi}{2}+2\pi n;\,\frac{\pi}{6}+2\pi n\right)\cup\left(\frac{5\pi}{6}+2\pi n;\,\frac{3\pi}{2}+2\pi n\right). $$
   Возвращаясь к $$x$$, получаем
   $$ x\in\left(\frac{\pi}{2}+2\pi n;\,\frac{11\pi}{6}+2\pi n\right)\cup\left(-\frac{5\pi}{6}+2\pi n;\,\frac{7\pi}{6}+2\pi n\right),\quad n\in\mathbb Z. $$
   Объединяя интервалы, имеем
   $$ x\in\left(-\frac{5\pi}{6}+2\pi n;\,\frac{11\pi}{6}+2\pi n\right),\quad n\in\mathbb Z. $$
4. $$\tg\left(\frac{x}{3}+\frac{\pi}{4}\right)<\frac{\sqrt{3}}{3}.$$
   Так как $$\tg t$$ возрастает на каждом промежутке $$\left(-\frac{\pi}{2}+\pi n;\,\frac{\pi}{2}+\pi n\right)$$, то
   $$ \tg t<\frac{\sqrt{3}}{3}\iff -\frac{\pi}{2}+\pi n<t<\frac{\pi}{6}+\pi n. $$
   Следовательно,
   $$ -\frac{\pi}{2}+\pi n<\frac{x}{3}+\frac{\pi}{4}<\frac{\pi}{6}+\pi n, $$
   $$ -\frac{3\pi}{4}+ \pi n<\frac{x}{3}<-\frac{\pi}{12}+\pi n, $$
   $$ -\frac{9\pi}{4}+3\pi n<x<-\frac{\pi}{4}+3\pi n,\quad n\in\mathbb Z. $$
5. $$\cos\left(x-\frac{\pi}{6}\right)\ge \frac12.$$
   Для косинуса
   $$ \cos t\ge \frac12 \iff -\frac{\pi}{3}+2\pi n\le t\le \frac{\pi}{3}+2\pi n. $$
   Тогда
   $$ -\frac{\pi}{3}+2\pi n\le x-\frac{\pi}{6}\le \frac{\pi}{3}+2\pi n, $$
   $$ -\frac{\pi}{6}+2\pi n\le x\le \frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z. $$
6. $$\sin\left(4x+\frac{\pi}{5}\right)\le -\frac{\sqrt{3}}{2}.$$
   Для синуса
   $$ \sin t\le -\frac{\sqrt{3}}{2}\iff t\in\left[\frac{4\pi}{3}+2\pi n;\,\frac{5\pi}{3}+2\pi n\right],\quad n\in\mathbb Z. $$
   Значит,
   $$ \frac{4\pi}{3}+2\pi n\le 4x+\frac{\pi}{5}\le \frac{5\pi}{3}+2\pi n, $$
   $$ \frac{17\pi}{15}+2\pi n\le 4x\le \frac{22\pi}{15}+2\pi n, $$
   $$ \frac{17\pi}{60}+\frac{\pi n}{2}\le x\le \frac{11\pi}{30}+\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z. $$

Ответ

1) $$x\in\left(-\frac{\pi}{6}+\pi n;\,\pi n\right],\ n\in\mathbb Z;$$
2) $$x\in\left(\frac{5\pi}{6}+4\pi n;\,\frac{11\pi}{6}+4\pi n\right),\ n\in\mathbb Z;$$
3) $$x\in\left(-\frac{5\pi}{6}+2\pi n;\,\frac{11\pi}{6}+2\pi n\right),\ n\in\mathbb Z;$$
4) $$x\in\left(-\frac{9\pi}{4}+3\pi n;\,-\frac{\pi}{4}+3\pi n\right),\ n\in\mathbb Z;$$
5) $$x\in\left[-\frac{\pi}{6}+2\pi n;\,\frac{\pi}{2}+2\pi n\right],\ n\in\mathbb Z;$$
6) $$x\in\left[\frac{17\pi}{60}+\frac{\pi n}{2};\,\frac{11\pi}{30}+\frac{\pi n}{2}\right],\ n\in\mathbb Z.$$