Упр.32.6 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)
Решите неравенство:
- 1) $$\operatorname{ctg}\left(x+\frac{\pi}{6}\right)\geq\sqrt{3}$$;
4) $$\operatorname{tg}\left(\frac{x}{3}+\frac{\pi}{4}\right)<\frac{\sqrt{3}}{3}$$;
2) $$\cos\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{3}\right)<-\frac{\sqrt{2}}{2}$$;
5) $$\cos\left(x-\frac{\pi}{6}\right)\geq\frac{1}{2}$$;
3) $$2\sin\left(\frac{2\pi}{3}-x\right)<1$$;
6) $$\sin\left(4x+\frac{\pi}{5}\right)\geq-\frac{\sqrt{3}}{2}$$.
1) $$\ctg\left(x+\frac{\pi}{6}\right)\ge \sqrt{3}.$$
Решим сначала уравнение:
$$\ctg\left(x+\frac{\pi}{6}\right)=\sqrt{3}.$$
Так как $$\ctg \frac{\pi}{6}=\sqrt{3},$$ то
$$x+\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
Тогда
$$x=\pi n.$$
На промежутке монотонности котангенса получаем
$$\pi n<x+\frac{\pi}{6}\le \frac{\pi}{6}+\pi n,$$
откуда
$$-\frac{\pi}{6}+\pi n<x\le \pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
2) $$\cos\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{3}\right)<-\frac{\sqrt{2}}{2}.$$
Решим уравнение:
$$\cos\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{3}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}.$$
Тогда
$$\frac{x}{2}+\frac{\pi}{3}=\pm \frac{3\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
Отсюда
$$\frac{x}{2}+\frac{\pi}{3}=\frac{3\pi}{4}+2\pi n \quad \text{или} \quad \frac{x}{2}+\frac{\pi}{3}=\frac{5\pi}{4}+2\pi n.$$
Так как косинус меньше $$-\frac{\sqrt{2}}{2}$$ между этими значениями, то
$$\frac{3\pi}{4}+2\pi n<\frac{x}{2}+\frac{\pi}{3}<\frac{5\pi}{4}+2\pi n.$$
Следовательно,
$$\frac{5\pi}{6}+4\pi n<x<\frac{11\pi}{6}+4\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
3) $$2\sin\left(\frac{2\pi}{3}-x\right)<1.$$
Преобразуем:
$$\sin\left(\frac{2\pi}{3}-x\right)<\frac12.$$
Удобно переписать как
$$\sin\left(x-\frac{2\pi}{3}\right)>-\frac12.$$
Решим уравнение:
$$\sin\left(x-\frac{2\pi}{3}\right)=-\frac12.$$
Тогда
$$x-\frac{2\pi}{3}=-\frac{\pi}{6}+2\pi n \quad \text{или} \quad x-\frac{2\pi}{3}=\frac{7\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
Для неравенства получаем
$$-\frac{\pi}{6}+2\pi n<x-\frac{2\pi}{3}<\frac{7\pi}{6}+2\pi n.$$
Отсюда
$$\frac{\pi}{2}+2\pi n<x<\frac{11\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
4) $$\tg\left(\frac{x}{3}+\frac{\pi}{4}\right)<\frac{\sqrt{3}}{3}.$$
Решим уравнение:
$$\tg\left(\frac{x}{3}+\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{3}}{3}.$$
Так как $$\arctg\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{\pi}{6},$$ то
$$\frac{x}{3}+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
На промежутке монотонности тангенса имеем
$$-\frac{\pi}{2}+\pi n<\frac{x}{3}+\frac{\pi}{4}<\frac{\pi}{6}+\pi n.$$
Следовательно,
$$-\frac{9\pi}{4}+3\pi n<x<-\frac{\pi}{4}+3\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
5) $$\cos\left(x-\frac{\pi}{6}\right)\ge \frac12.$$
Решим уравнение:
$$\cos\left(x-\frac{\pi}{6}\right)=\frac12.$$
Тогда
$$x-\frac{\pi}{6}=\pm \frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
Для неравенства получаем
$$-\frac{\pi}{3}+2\pi n\le x-\frac{\pi}{6}\le \frac{\pi}{3}+2\pi n.$$
Отсюда
$$-\frac{\pi}{6}+2\pi n\le x\le \frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
6) $$\sin\left(4x+\frac{\pi}{5}\right)\le -\frac{\sqrt{3}}{2}.$$
Решим уравнение:
$$\sin\left(4x+\frac{\pi}{5}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}.$$
Тогда
$$4x+\frac{\pi}{5}=-\frac{\pi}{3}+2\pi n \quad \text{или} \quad 4x+\frac{\pi}{5}=\frac{4\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
Для неравенства
$$\sin t\le -\frac{\sqrt{3}}{2}$$
получаем
$$\frac{4\pi}{3}+2\pi n\le 4x+\frac{\pi}{5}\le \frac{5\pi}{3}+2\pi n.$$
Тогда
$$\frac{17\pi}{15}+2\pi n\le 4x\le \frac{22\pi}{15}+2\pi n,$$
и, деля на $$4,$$ имеем
$$\frac{17\pi}{60}+\frac{\pi n}{2}\le x\le \frac{11\pi}{30}+\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z.$$
Ответ
1) $$-\frac{\pi}{6}+\pi n<x\le \pi n,\ n\in\mathbb Z.$$
2) $$\frac{5\pi}{6}+4\pi n<x<\frac{11\pi}{6}+4\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$
3) $$\frac{\pi}{2}+2\pi n<x<\frac{11\pi}{6}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$
4) $$-\frac{9\pi}{4}+3\pi n<x<-\frac{\pi}{4}+3\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$
5) $$-\frac{\pi}{6}+2\pi n\le x\le \frac{\pi}{2}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$
6) $$\frac{17\pi}{60}+\frac{\pi n}{2}\le x\le \frac{11\pi}{30}+\frac{\pi n}{2},\ n\in\mathbb Z.$$
