Упр.32.5 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

1) tg(x-?/3)?v3; 4) 2sin(?/6-3x)?v3;
2) cos(2x-?/6) > -1/2; 5) cos(x/2+?/4)?-v2/2;
3) ctg(?/4-x) > 1/v3; 6) sin(1-2x) < -v2/2.

1. $$\tg\left(x-\frac{\pi}{3}\right)\le \sqrt{3}$$

   Рассмотрим на промежутке $$\left(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right)$$:

   $$\tg\left(x-\frac{\pi}{3}\right)=\sqrt{3}$$
   $$x-\frac{\pi}{3}=\arctg\sqrt{3}+\pi n=\frac{\pi}{3}+\pi n$$

   Так как функция $$\tg x$$ возрастает, получаем:

   $$-\frac{\pi}{2}+\pi n<x-\frac{\pi}{3}\le \frac{\pi}{3}+\pi n$$
   $$-\frac{\pi}{6}+\pi n<x\le \frac{2\pi}{3}+\pi n$$

2. $$\cos\left(2x-\frac{\pi}{6}\right)>-\frac12$$

   Рассмотрим на промежутке $$[-\pi;\pi]$$:

   $$\cos\left(2x-\frac{\pi}{6}\right)=-\frac12$$
   $$2x-\frac{\pi}{6}=\pm \arccos\left(-\frac12\right)+2\pi n=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi n$$

   Для неравенства получаем:

   $$-\frac{2\pi}{3}+2\pi n<2x-\frac{\pi}{6}<\frac{2\pi}{3}+2\pi n$$
   $$-\frac{\pi}{2}+2\pi n<2x<\frac{5\pi}{6}+2\pi n$$
   $$-\frac{\pi}{4}+\pi n<x<\frac{5\pi}{12}+\pi n$$

3. $$\ctg\left(\frac{\pi}{4}-x\right)>\frac{1}{\sqrt{3}}$$

   Перепишем неравенство:

   $$\ctg\left(x-\frac{\pi}{4}\right)<-\frac{1}{\sqrt{3}}$$

   Рассмотрим на промежутке $$[0;\pi]$$:

   $$\ctg\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=-\frac{1}{\sqrt{3}}$$
   $$x-\frac{\pi}{4}=\arcctg\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)+\pi n=\frac{2\pi}{3}+\pi n$$

   Так как функция $$\ctg x$$ убывает, то:

   $$\frac{2\pi}{3}+\pi n<x-\frac{\pi}{4}<\pi+\pi n$$
   $$\frac{11\pi}{12}+\pi n<x<\frac{5\pi}{4}+\pi n$$

4. $$2\sin\left(\frac{\pi}{6}-3x\right)\le \sqrt{3}$$

   Делим на 2:

   $$\sin\left(\frac{\pi}{6}-3x\right)\le \frac{\sqrt{3}}{2}$$
   $$\sin\left(3x-\frac{\pi}{6}\right)\ge -\frac{\sqrt{3}}{2}$$

   Рассмотрим на промежутке $$\left[-\frac{\pi}{2};\frac{3\pi}{2}\right]$$:

   $$\sin\left(3x-\frac{\pi}{6}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}$$
   $$3x-\frac{\pi}{6}=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{3}+\pi n$$

   Для неравенства получаем:

   $$-\frac{\pi}{3}+2\pi n\le 3x-\frac{\pi}{6}\le \frac{4\pi}{3}+2\pi n$$
   $$-\frac{\pi}{6}+2\pi n\le 3x\le \frac{3\pi}{2}+2\pi n$$
   $$-\frac{\pi}{18}+\frac{2\pi n}{3}\le x\le \frac{\pi}{2}+\frac{2\pi n}{3}$$

5. $$\cos\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4}\right)\le -\frac{\sqrt{2}}{2}$$

   Рассмотрим на промежутке $$[0;2\pi]$$:

   $$\cos\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}$$
   $$\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4}=\pm \arccos\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)+2\pi n=\pm \frac{3\pi}{4}+2\pi n$$

   Тогда:

   $$\frac{3\pi}{4}+2\pi n\le \frac{x}{2}+\frac{\pi}{4}\le \frac{5\pi}{4}+2\pi n$$
   $$\frac{\pi}{2}+2\pi n\le \frac{x}{2}\le \pi+2\pi n$$
   $$\pi+4\pi n\le x\le 2\pi+4\pi n$$

6. $$\sin(1-2x)<-\frac{\sqrt{2}}{2}$$

   Перепишем:

   $$\sin(2x-1)>\frac{\sqrt{2}}{2}$$

   Рассмотрим на промежутке $$\left[-\frac{\pi}{2};\frac{3\pi}{2}\right]$$:

   $$\sin(2x-1)=\frac{\sqrt{2}}{2}$$
   $$2x-1=(-1)^n\arcsin\frac{\sqrt{2}}{2}+\pi n=(-1)^n\frac{\pi}{4}+\pi n$$

   Для неравенства:

   $$\frac{\pi}{4}+2\pi n<2x-1<\frac{3\pi}{4}+2\pi n$$
   $$\frac{\pi}{4}+1+2\pi n<2x<\frac{3\pi}{4}+1+2\pi n$$
   $$\frac{\pi}{8}+\frac12+\pi n<x<\frac{3\pi}{8}+\frac12+\pi n$$

Ответ

1) $$-\frac{\pi}{6}+\pi n<x\le \frac{2\pi}{3}+\pi n$$;
2) $$-\frac{\pi}{4}+\pi n<x<\frac{5\pi}{12}+\pi n$$;
3) $$\frac{11\pi}{12}+\pi n<x<\frac{5\pi}{4}+\pi n$$;
4) $$-\frac{\pi}{18}+\frac{2\pi n}{3}\le x\le \frac{\pi}{2}+\frac{2\pi n}{3}$$;
5) $$\pi+4\pi n\le x\le 2\pi+4\pi n$$;
6) $$\frac{\pi}{8}+\frac12+\pi n<x<\frac{3\pi}{8}+\frac12+\pi n$$, $$n\in\mathbb{Z}$$.