Упр.32.5 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

1) $$\tg\left(x-\frac{\pi}{3}\right)\le \sqrt{3}$$

Рассмотрим функцию $$\tg t$$ на промежутке $$\left(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right)$$. Тогда

$$\tg\left(x-\frac{\pi}{3}\right)=\sqrt{3} \iff x-\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{3}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Отсюда

$$-\frac{\pi}{2}+\pi n<x-\frac{\pi}{3}\le \frac{\pi}{3}+\pi n,$$

$$-\frac{\pi}{6}+\pi n<x\le \frac{2\pi}{3}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

2) $$\cos\left(2x-\frac{\pi}{6}\right)>-\frac12$$

Для косинуса имеем

$$\cos t=-\frac12 \iff t=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Тогда

$$-\frac{2\pi}{3}+2\pi n<2x-\frac{\pi}{6}<\frac{2\pi}{3}+2\pi n,$$

$$-\frac{\pi}{2}+2\pi n<2x<\frac{5\pi}{6}+2\pi n,$$

$$-\frac{\pi}{4}+\pi n<x<\frac{5\pi}{12}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

3) $$\ctg\left(\frac{\pi}{4}-x\right)>\frac{1}{\sqrt{3}}$$

Преобразуем неравенство:

$$\ctg\left(x-\frac{\pi}{4}\right)<-\frac{1}{\sqrt{3}}.$$

Так как $$\ctg \frac{2\pi}{3}=-\frac{1}{\sqrt{3}},$$ то

$$\frac{2\pi}{3}+\pi n<x-\frac{\pi}{4}<\pi+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Следовательно,

$$\frac{11\pi}{12}+\pi n<x<\frac{5\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

4) $$2\sin\left(\frac{\pi}{6}-3x\right)\le \sqrt{3}$$

Получаем

$$\sin\left(3x-\frac{\pi}{6}\right)\ge -\frac{\sqrt{3}}{2}.$$

Значение $$-\frac{\sqrt{3}}{2}$$ синус принимает при углах $$-\frac{\pi}{3}$$ и $$\frac{4\pi}{3}$$. Поэтому

$$-\frac{\pi}{3}+2\pi n\le 3x-\frac{\pi}{6}\le \frac{4\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Тогда

$$-\frac{\pi}{6}+2\pi n\le 3x\le \frac{3\pi}{2}+2\pi n,$$

$$-\frac{\pi}{18}+\frac{2\pi n}{3}\le x\le \frac{\pi}{2}+\frac{2\pi n}{3},\quad n\in\mathbb Z.$$

5) $$\cos\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4}\right)\le -\frac{\sqrt{2}}{2}$$

Так как $$\cos t=-\frac{\sqrt{2}}{2}$$ при $$t=\frac{3\pi}{4}+2\pi n$$ и $$t=\frac{5\pi}{4}+2\pi n,$$ то

$$\frac{3\pi}{4}+2\pi n\le \frac{x}{2}+\frac{\pi}{4}\le \frac{5\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Следовательно,

$$\frac{\pi}{2}+2\pi n\le \frac{x}{2}\le \pi+2\pi n,$$

$$\pi+4\pi n\le x\le 2\pi+4\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

6) $$\sin(1-2x)<-\frac{\sqrt{2}}{2}$$

Преобразуем:

$$\sin(2x-1)>\frac{\sqrt{2}}{2}.$$

Для синуса имеем

$$\sin t=\frac{\sqrt{2}}{2} \iff t=\frac{\pi}{4}+2\pi n \text{ или } t=\frac{3\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Тогда

$$\frac{\pi}{4}+2\pi n<2x-1<\frac{3\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Отсюда

$$\frac{\pi}{8}+\frac12+\pi n<x<\frac{3\pi}{8}+\frac12+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

1) $$-\frac{\pi}{6}+\pi n<x\le \frac{2\pi}{3}+\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$

2) $$-\frac{\pi}{4}+\pi n<x<\frac{5\pi}{12}+\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$

3) $$\frac{11\pi}{12}+\pi n<x<\frac{5\pi}{4}+\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$

4) $$-\frac{\pi}{18}+\frac{2\pi n}{3}\le x\le \frac{\pi}{2}+\frac{2\pi n}{3},\ n\in\mathbb Z.$$

5) $$\pi+4\pi n\le x\le 2\pi+4\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$

6) $$\frac{\pi}{8}+\frac12+\pi n<x<\frac{3\pi}{8}+\frac12+\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$