Упр.32.4 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

1) sin(x/3) < 1/2; 3) tg(2x) < -v3/3; 2) ctg(-x/2) > v3; 4) cos(4x) < 1/4.

1. $$\sin \frac{x}{3}<\frac12$$

   Сначала найдём точки, где $$\sin \frac{x}{3}=\frac12$$:

   $$\frac{x}{3}=\frac{\pi}{6}+2\pi n \quad \text{или} \quad \frac{x}{3}=\frac{5\pi}{6}+2\pi n,$$
   $$x=\frac{\pi}{2}+6\pi n \quad \text{или} \quad x=\frac{5\pi}{2}+6\pi n.$$

   На промежутке между этими точками синус меньше $$\frac12$$:

   $$\frac{5\pi}{2}+6\pi n<x<\frac{13\pi}{2}+6\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

2. $$\ctg\left(-\frac{x}{2}\right)>\sqrt3$$

   Так как $$\ctg(-t)=-\ctg t$$, получаем:

   $$-\ctg \frac{x}{2}>\sqrt3,$$
   $$\ctg \frac{x}{2}<-\sqrt3.$$

   Решим неравенство для котангенса:

   $$\ctg \frac{x}{2}=-\sqrt3 \quad \Rightarrow \quad \frac{x}{2}=\frac{5\pi}{6}+\pi n.$$

   На промежутке, где котангенс меньше $$-\sqrt3$$:

   $$\frac{5\pi}{6}+\pi n<\frac{x}{2}<\pi+\pi n,$$
   $$\frac{5\pi}{3}+2\pi n<x<2\pi+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

3. $$\tg 2x<-\frac{\sqrt3}{3}$$

   Найдём точки равенства:

   $$\tg 2x=-\frac{\sqrt3}{3},$$
   $$2x=-\frac{\pi}{6}+\pi n.$$

   Тогда

   $$-\frac{\pi}{6}+\pi n<2x<\frac{\pi}{2}+\pi n,$$
   $$-\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{2}<x<\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z.$$

4. $$\cos 4x<\frac14$$

   Сначала решим уравнение:

   $$\cos 4x=\frac14,$$
   $$4x=\pm \arccos \frac14+2\pi n.$$

   Косинус меньше $$\frac14$$ между этими значениями:

   $$\arccos \frac14+2\pi n<4x<2\pi-\arccos \frac14+2\pi n,$$
   $$\frac14\arccos \frac14+\frac{\pi n}{2}<x<\frac{\pi}{2}-\frac14\arccos \frac14+\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

1) $$\frac{5\pi}{2}+6\pi n<x<\frac{13\pi}{2}+6\pi n,\ n\in\mathbb Z$$;
2) $$\frac{5\pi}{3}+2\pi n<x<2\pi+2\pi n,\ n\in\mathbb Z$$;
3) $$-\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{2}<x<\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},\ n\in\mathbb Z$$;
4) $$\frac14\arccos \frac14+\frac{\pi n}{2}<x<\frac{\pi}{2}-\frac14\arccos \frac14+\frac{\pi n}{2},\ n\in\mathbb Z.$$