Упр.32.4 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

Решите неравенство:

1. $$\sin\left(\frac{x}{3}\right)<\frac{1}{2}$$
2. $$\operatorname{tg}(2x)<-\frac{\sqrt{3}}{3}$$
3. $$\operatorname{ctg}\left(-\frac{x}{2}\right)>\sqrt{3}$$
4. $$\cos(4x)<\frac{1}{4}$$

1) $$\sin \frac{x}{3} < \frac12$$

Рассмотрим сначала уравнение

$$\sin \frac{x}{3}=\frac12.$$

Тогда

$$\frac{x}{3}=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Отсюда находим точки, в которых синус равен $$\frac12$$:

$$\frac{x}{3}=\frac{\pi}{6}+2\pi n \quad \text{или} \quad \frac{x}{3}=\frac{5\pi}{6}+2\pi n.$$

Так как $$\sin t<\frac12$$ между этими точками, получаем

$$\frac{5\pi}{6}+2\pi n<\frac{x}{3}<\frac{13\pi}{6}+2\pi n.$$

Умножая на $$3$$, имеем

$$\frac{5\pi}{2}+6\pi n<x<\frac{13\pi}{2}+6\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

2) $$\ctg\left(-\frac{x}{2}\right)>\sqrt3$$

Используем нечётность котангенса:

$$-\ctg \frac{x}{2}>\sqrt3,$$

то есть

$$\ctg \frac{x}{2}<-\sqrt3.$$

Рассмотрим уравнение

$$\ctg \frac{x}{2}=-\sqrt3.$$

Тогда

$$\frac{x}{2}=\frac{5\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

На промежутке убывания котангенса получаем

$$\frac{5\pi}{6}+\pi n<\frac{x}{2}<\pi+\pi n.$$

Следовательно,

$$\frac{5\pi}{3}+2\pi n<x<2\pi+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

3) $$\tg 2x<-\frac{\sqrt3}{3}$$

Рассмотрим уравнение

$$\tg 2x=-\frac{\sqrt3}{3}.$$

Так как $$\arctg\frac{\sqrt3}{3}=\frac{\pi}{6},$$ то

$$2x=-\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

На каждом промежутке возрастания тангенса имеем

$$-\frac{\pi}{2}+\pi n<2x<-\frac{\pi}{6}+\pi n.$$

Делим на $$2$$:

$$-\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2}<x<-\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z.$$

4) $$\cos 4x<\frac14$$

Рассмотрим уравнение

$$\cos 4x=\frac14.$$

Тогда

$$4x=\pm \arccos \frac14+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Так как косинус меньше $$\frac14$$ между найденными точками, получаем

$$\arccos \frac14+2\pi n<4x<2\pi-\arccos \frac14+2\pi n.$$

Делим на $$4$$:

$$\frac14\arccos \frac14+\frac{\pi n}{2}<x<\frac{\pi}{2}-\frac14\arccos \frac14+\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

$$1)\ \frac{5\pi}{2}+6\pi n<x<\frac{13\pi}{2}+6\pi n,\ n\in\mathbb Z;$$
$$2)\ \frac{5\pi}{3}+2\pi n<x<2\pi+2\pi n,\ n\in\mathbb Z;$$
$$3)\ -\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2}<x<-\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{2},\ n\in\mathbb Z;$$
$$4)\ \frac14\arccos \frac14+\frac{\pi n}{2}<x<\frac{\pi}{2}-\frac14\arccos \frac14+\frac{\pi n}{2},\ n\in\mathbb Z.$$