Упр.32.3 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

Решите неравенство:

• 1) $$\sin(2x)>\frac{\sqrt{3}}{2}$$;
• 3) $$\operatorname{ctg}(5x)>1$$;
• 2) $$\operatorname{tg}\left(-\frac{x}{4}\right)<\sqrt{3}$$;
• 4) $$\cos(-3x)>\frac{1}{3}$$.

1) $$\sin 2x>\frac{\sqrt3}{2}$$

Решим сначала уравнение $$\sin 2x=\frac{\sqrt3}{2}.$$

На отрезке $$\left[-\frac{\pi}{2};\frac{3\pi}{2}\right]$$ получаем:

$$2x=\frac{\pi}{3}+2\pi n \quad \text{или} \quad 2x=\frac{2\pi}{3}+2\pi n.$$

Тогда

$$\frac{\pi}{6}+\pi n<x<\frac{\pi}{3}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

2) $$\tg\left(-\frac{x}{4}\right)<\sqrt3$$

Так как $$\tg(-t)=-\tg t,$$ то

$$-\tg\frac{x}{4}<\sqrt3,$$

откуда

$$\tg\frac{x}{4}>-\sqrt3.$$

Решим уравнение $$\tg\frac{x}{4}=-\sqrt3.$$

На отрезке $$\left[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right]$$ имеем:

$$\frac{x}{4}=-\frac{\pi}{3}+\pi n.$$

Тогда

$$-\frac{4\pi}{3}+4\pi n<x<2\pi+4\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

3) $$\ctg 5x>1$$

Решим уравнение $$\ctg 5x=1.$$

На отрезке $$[0;\pi]$$ получаем:

$$5x=\frac{\pi}{4}+\pi n.$$

Так как функция $$\ctg t$$ убывает на каждом промежутке $$\left(\pi n;\pi+\pi n\right),$$ то

$$\pi n<5x<\frac{\pi}{4}+\pi n.$$

Следовательно,

$$\frac{\pi n}{5}<x<\frac{\pi}{20}+\frac{\pi n}{5},\quad n\in\mathbb Z.$$

4) $$\cos(-3x)>\frac13$$

Так как $$\cos(-3x)=\cos 3x,$$ то

$$\cos 3x>\frac13.$$

Решим уравнение $$\cos 3x=\frac13.$$

На отрезке $$[-\pi;\pi]$$ имеем:

$$3x=\pm \arccos\frac13+2\pi n.$$

Так как косинус больше $$\frac13$$ между найденными корнями, то

$$-\arccos\frac13+2\pi n<3x<\arccos\frac13+2\pi n.$$

Отсюда

$$-\frac13\arccos\frac13+\frac{2\pi n}{3}<x<\frac13\arccos\frac13+\frac{2\pi n}{3},\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

1) $$\frac{\pi}{6}+\pi n<x<\frac{\pi}{3}+\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$

2) $$-\frac{4\pi}{3}+4\pi n<x<2\pi+4\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$

3) $$\frac{\pi n}{5}<x<\frac{\pi}{20}+\frac{\pi n}{5},\ n\in\mathbb Z.$$

4) $$-\frac13\arccos\frac13+\frac{2\pi n}{3}<x<\frac13\arccos\frac13+\frac{2\pi n}{3},\ n\in\mathbb Z.$$