Упр.32.3 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

1) sin(2x) > v3/2; 3) ctg(5x) > 1;
2) tg(-x/4) < v3; 4) cos(-3x) > 1/3.

1. $$\sin 2x>\frac{\sqrt3}{2}$$

   Решим сначала уравнение $$\sin 2x=\frac{\sqrt3}{2}$$:

   $$2x=\frac{\pi}{3}+2\pi n \quad \text{или} \quad 2x=\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$

   Так как синус больше $$\frac{\sqrt3}{2}$$ между этими значениями, получаем:

   $$\frac{\pi}{3}+2\pi n<2x<\frac{2\pi}{3}+2\pi n.$$

   Делим на 2:

   $$\frac{\pi}{6}+\pi n<x<\frac{\pi}{3}+\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$

2. $$\tg\left(-\frac{x}{4}\right)<\sqrt3$$

   Используем нечётность тангенса:

   $$-\tg\frac{x}{4}<\sqrt3 \quad \Longrightarrow \quad \tg\frac{x}{4}>-\sqrt3.$$

   Решим уравнение $$\tg\frac{x}{4}=-\sqrt3$$:

   $$\frac{x}{4}=-\frac{\pi}{3}+\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$

   Тогда для неравенства:

   $$-\frac{\pi}{3}+\pi n<\frac{x}{4}<\frac{\pi}{2}+\pi n.$$

   Умножаем на 4:

   $$-\frac{4\pi}{3}+4\pi n<x<2\pi+4\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$

3. $$\ctg 5x>1$$

   Решим уравнение $$\ctg 5x=1$$:

   $$5x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$

   На промежутке, где определена и убывает функция $$\ctg t$$, получаем:

   $$\pi n<5x<\frac{\pi}{4}+\pi n.$$

   Делим на 5:

   $$\frac{\pi n}{5}<x<\frac{\pi}{20}+\frac{\pi n}{5},\; n\in\mathbb Z.$$

4. $$\cos(-3x)>\frac13$$

   Так как косинус — чётная функция, то

   $$\cos 3x>\frac13.$$

   Решим уравнение $$\cos 3x=\frac13$$:

   $$3x=\pm \arccos\frac13+2\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$

   Косинус больше $$\frac13$$ между этими значениями, значит:

   $$-\arccos\frac13+2\pi n<3x<\arccos\frac13+2\pi n.$$

   Делим на 3:

   $$-\frac13\arccos\frac13+\frac{2\pi n}{3}<x<\frac13\arccos\frac13+\frac{2\pi n}{3},\; n\in\mathbb Z.$$

Ответ

1) $$\frac{\pi}{6}+\pi n<x<\frac{\pi}{3}+\pi n,\; n\in\mathbb Z;$$

2) $$-\frac{4\pi}{3}+4\pi n<x<2\pi+4\pi n,\; n\in\mathbb Z;$$

3) $$\frac{\pi n}{5}<x<\frac{\pi}{20}+\frac{\pi n}{5},\; n\in\mathbb Z;$$

4) $$-\frac13\arccos\frac13+\frac{2\pi n}{3}<x<\frac13\arccos\frac13+\frac{2\pi n}{3},\; n\in\mathbb Z.$$