Упр.32.2 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

Решите неравенство:

1) $$\sin(x)?\frac{\sqrt{2}}{2}$$; 4) $$\cos(x)>\frac{\sqrt{3}}{2}$$; 7) $$\operatorname{ctg}(x)>\frac{\sqrt{3}}{3}$$; 10) $$\operatorname{ctg}(x)<2$$.

2) $$\sin(x)>-\frac{1}{2}$$; 5) $$\operatorname{tg}(x)?-1$$; 8) $$\operatorname{ctg}(x)?1$$.

3) $$\cos(x)?\frac{1}{2}$$; 6) $$\operatorname{tg}(x)<-\sqrt{3}$$; 9) $$\cos(x)>\frac{3}{5}$$.

1) $$\sin x \le \frac{\sqrt2}{2}$$

На отрезке $$\left[\frac{\pi}{2};\frac{5\pi}{2}\right]$$ уравнение $$\sin x=\frac{\sqrt2}{2}$$ имеет корни

$$x=\frac{3\pi}{4}+2\pi n,\qquad x=\frac{9\pi}{4}+2\pi n.$$

Так как требуется $$\sin x \le \frac{\sqrt2}{2},$$ получаем

$$\frac{3\pi}{4}+2\pi n \le x \le \frac{9\pi}{4}+2\pi n.$$

2) $$\sin x > -\frac12$$

На отрезке $$\left[-\frac{\pi}{2};\frac{3\pi}{2}\right]$$ уравнение $$\sin x=-\frac12$$ имеет корни

$$x=-\frac{\pi}{6}+2\pi n,\qquad x=\frac{7\pi}{6}+2\pi n.$$

Тогда

$$-\frac{\pi}{6}+2\pi n < x < \frac{7\pi}{6}+2\pi n.$$

3) $$\cos x \le \frac12$$

На отрезке $$[0;2\pi]$$ уравнение $$\cos x=\frac12$$ имеет корни

$$x=\frac{\pi}{3}+2\pi n,\qquad x=\frac{5\pi}{3}+2\pi n.$$

Следовательно,

$$\frac{\pi}{3}+2\pi n \le x \le \frac{5\pi}{3}+2\pi n.$$

4) $$\cos x > \frac{\sqrt3}{2}$$

На отрезке $$[-\pi;\pi]$$ уравнение $$\cos x=\frac{\sqrt3}{2}$$ имеет корни

$$x=-\frac{\pi}{6},\qquad x=\frac{\pi}{6}.$$

Значит,

$$-\frac{\pi}{6}+2\pi n < x < \frac{\pi}{6}+2\pi n.$$

5) $$\tg x \ge -1$$

На отрезке $$\left[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right]$$ уравнение $$\tg x=-1$$ имеет корень

$$x=-\frac{\pi}{4}+ \pi n.$$

Так как функция $$\tg x$$ возрастает, получаем

$$-\frac{\pi}{4}+\pi n \le x < \frac{\pi}{2}+\pi n.$$

6) $$\tg x < -\sqrt3$$

На отрезке $$\left[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right]$$ уравнение $$\tg x=-\sqrt3$$ имеет корень

$$x=-\frac{\pi}{3}+\pi n.$$

Тогда

$$-\frac{\pi}{2}+\pi n < x < -\frac{\pi}{3}+\pi n.$$

7) $$\ctg x > \frac{\sqrt3}{3}$$

На отрезке $$[0;\pi]$$ уравнение $$\ctg x=\frac{\sqrt3}{3}$$ имеет корень

$$x=\frac{\pi}{3}+\pi n.$$

Функция $$\ctg x$$ убывает, поэтому

$$\pi n < x < \frac{\pi}{3}+\pi n.$$

8) $$\ctg x \le 1$$

На отрезке $$[0;\pi]$$ уравнение $$\ctg x=1$$ имеет корень

$$x=\frac{\pi}{4}+\pi n.$$

Следовательно,

$$\frac{\pi}{4}+\pi n \le x < \pi+\pi n.$$

9) $$\cos x > \frac35$$

На отрезке $$[-\pi;\pi]$$ уравнение $$\cos x=\frac35$$ имеет корни

$$x=-\arccos\frac35+2\pi n,\qquad x=\arccos\frac35+2\pi n.$$

Тогда

$$-\arccos\frac35+2\pi n < x < \arccos\frac35+2\pi n.$$

10) $$\ctg x < 2$$

На отрезке $$[0;\pi]$$ уравнение $$\ctg x=2$$ имеет корень

$$x=\operatorname{arcctg}2+\pi n.$$

Так как $$\ctg x$$ убывает, получаем

$$\operatorname{arcctg}2+\pi n < x < \pi+\pi n.$$