Упр.32.2 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

1) sin(x)?v2/2; 4) cos(x) > v3/2; 7) ctg(x) > v3/3; 10) ctg(x) < 2. 2) sin(x) > -1/2; 5) tg(x)?-1; 8) ctg(x)?1;
3) cos(x)?1/2; 6) tg(x) < -v3; 9) cos(x) > 3/5;

1. $$\sin x \le \frac{\sqrt2}{2}$$

   На отрезке $$\left[\frac{\pi}{2};\frac{5\pi}{2}\right]$$ уравнение $$\sin x=\frac{\sqrt2}{2}$$ имеет корни

   $$x=\frac{3\pi}{4}+2\pi n,\quad x=\frac{9\pi}{4}+2\pi n.$$

   Тогда

   $$\frac{3\pi}{4}+2\pi n \le x \le \frac{9\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

2. $$\sin x > -\frac12$$

   Решаем уравнение $$\sin x=-\frac12$$:

   $$x=-\frac{\pi}{6}+2\pi n,\quad x=\frac{7\pi}{6}+2\pi n.$$

   Так как требуется строгое неравенство, получаем

   $$-\frac{\pi}{6}+2\pi n < x < \frac{7\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

3. $$\cos x \le \frac12$$

   Уравнение $$\cos x=\frac12$$ имеет решения

   $$x=\pm \frac{\pi}{3}+2\pi n.$$

   Следовательно,

   $$\frac{\pi}{3}+2\pi n \le x \le \frac{5\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

4. $$\cos x > \frac{\sqrt3}{2}$$

   Уравнение $$\cos x=\frac{\sqrt3}{2}$$ даёт

   $$x=\pm \frac{\pi}{6}+2\pi n.$$

   Тогда

   $$-\frac{\pi}{6}+2\pi n < x < \frac{\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

5. $$\tg x \ge -1$$

   Решаем уравнение $$\tg x=-1$$:

   $$x=-\frac{\pi}{4}+\pi n.$$

   С учётом возрастания функции $$\tg x$$ на каждом промежутке $$\left(-\frac{\pi}{2}+\pi n;\frac{\pi}{2}+\pi n\right)$$ получаем

   $$-\frac{\pi}{4}+\pi n \le x < \frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

6. $$\tg x < -\sqrt3$$

   Уравнение $$\tg x=-\sqrt3$$ имеет решения

   $$x=-\frac{\pi}{3}+\pi n.$$

   Тогда

   $$-\frac{\pi}{2}+\pi n < x < -\frac{\pi}{3}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

7. $$\ctg x > \frac{\sqrt3}{3}$$

   Уравнение $$\ctg x=\frac{\sqrt3}{3}$$ даёт

   $$x=\frac{\pi}{3}+\pi n.$$

   Так как $$\ctg x$$ убывает на каждом промежутке $$\left(\pi n;\pi+\pi n\right)$$, получаем

   $$\pi n < x < \frac{\pi}{3}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

8. $$\ctg x \le 1$$

   Решаем уравнение $$\ctg x=1$$:

   $$x=\frac{\pi}{4}+\pi n.$$

   Следовательно,

   $$\frac{\pi}{4}+\pi n \le x < \pi+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

9. $$\cos x > \frac35$$

   Уравнение $$\cos x=\frac35$$ имеет решения

   $$x=\pm \arccos \frac35 + 2\pi n.$$

   Тогда

   $$-\arccos \frac35 + 2\pi n < x < \arccos \frac35 + 2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

10. $$\ctg x < 2$$

    Решаем уравнение $$\ctg x=2$$:

    $$x=\operatorname{arcctg} 2+\pi n.$$

    Так как $$\ctg x$$ убывает на каждом промежутке $$\left(\pi n;\pi+\pi n\right)$$, получаем

    $$\operatorname{arcctg} 2+\pi n < x < \pi+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

1) $$\frac{3\pi}{4}+2\pi n \le x \le \frac{9\pi}{4}+2\pi n$$;
2) $$-\frac{\pi}{6}+2\pi n < x < \frac{7\pi}{6}+2\pi n$$;
3) $$\frac{\pi}{3}+2\pi n \le x \le \frac{5\pi}{3}+2\pi n$$;
4) $$-\frac{\pi}{6}+2\pi n < x < \frac{\pi}{6}+2\pi n$$;
5) $$-\frac{\pi}{4}+\pi n \le x < \frac{\pi}{2}+\pi n$$;
6) $$-\frac{\pi}{2}+\pi n < x < -\frac{\pi}{3}+\pi n$$;
7) $$\pi n < x < \frac{\pi}{3}+\pi n$$;
8) $$\frac{\pi}{4}+\pi n \le x < \pi+\pi n$$;
9) $$-\arccos \frac35 + 2\pi n < x < \arccos \frac35 + 2\pi n$$;
10) $$\operatorname{arcctg} 2+\pi n < x < \pi+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$