Упр.32.1 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

1) sin(x) < 1/2; 4) cos(x)?v3/2; 7) ctg(x)?v3; 10) tg(x) > 3.
2) sin(x)?-v3/2; 5) tg(x) < -1; 8) ctg(x) > -1;
3) cos(x) > v2/2; 6) tg(x)?v3/3; 9 sin(x) < 1/6;

1. $$\sin x<\frac12$$

   На отрезке $$\left[\frac{\pi}{2};\frac{5\pi}{2}\right]$$ уравнение $$\sin x=\frac12$$ имеет корни

   $$x=\frac{5\pi}{6},\ \frac{13\pi}{6}.$$

   Тогда

   $$\frac{5\pi}{6}+2\pi n<x<\frac{13\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

2. $$\sin x\ge -\frac{\sqrt3}{2}$$

   На отрезке $$\left[-\frac{\pi}{2};\frac{3\pi}{2}\right]$$ уравнение $$\sin x=-\frac{\sqrt3}{2}$$ имеет корни

   $$x=-\frac{\pi}{3},\ \frac{4\pi}{3}.$$

   Следовательно,

   $$-\frac{\pi}{3}+2\pi n\le x\le \frac{4\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

3. $$\cos x>\frac{\sqrt2}{2}$$

   На отрезке $$[-\pi;\pi]$$ уравнение $$\cos x=\frac{\sqrt2}{2}$$ имеет корни

   $$x=-\frac{\pi}{4},\ \frac{\pi}{4}.$$

   Тогда

   $$-\frac{\pi}{4}+2\pi n<x<\frac{\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

4. $$\cos x\le \frac{\sqrt3}{2}$$

   На отрезке $$[0;2\pi]$$ уравнение $$\cos x=\frac{\sqrt3}{2}$$ имеет корни

   $$x=\frac{\pi}{6},\ \frac{11\pi}{6}.$$

   Следовательно,

   $$\frac{\pi}{6}+2\pi n\le x\le \frac{11\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

5. $$\tg x<-1$$

   На отрезке $$\left[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right]$$ уравнение $$\tg x=-1$$ имеет корень

   $$x=-\frac{\pi}{4}.$$

   Так как функция $$\tg x$$ возрастает на каждом промежутке определения, получаем

   $$-\frac{\pi}{2}+\pi n<x<-\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

6. $$\tg x\ge \frac{\sqrt3}{3}$$

   На отрезке $$\left[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right]$$ уравнение $$\tg x=\frac{\sqrt3}{3}$$ имеет корень

   $$x=\frac{\pi}{6}.$$

   Тогда

   $$\frac{\pi}{6}+\pi n\le x<\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

7. $$\ctg x\le \sqrt3$$

   На отрезке $$[0;\pi]$$ уравнение $$\ctg x=\sqrt3$$ имеет корень

   $$x=\frac{\pi}{6}.$$

   Так как функция $$\ctg x$$ убывает на каждом промежутке определения, получаем

   $$\frac{\pi}{6}+\pi n\le x<\pi+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

8. $$\ctg x>-1$$

   На отрезке $$[0;\pi]$$ уравнение $$\ctg x=-1$$ имеет корень

   $$x=\frac{3\pi}{4}.$$

   Следовательно,

   $$\pi n<x<\frac{3\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

9. $$\sin x<\frac16$$

   На отрезке $$\left[\frac{\pi}{2};\frac{5\pi}{2}\right]$$ уравнение $$\sin x=\frac16$$ имеет корни

   $$x=\pi-\arcsin\frac16,\quad x=2\pi+\arcsin\frac16.$$

   Тогда

   $$\pi-\arcsin\frac16+2\pi n<x<2\pi+\arcsin\frac16+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

10. $$\tg x>3$$

    На отрезке $$\left[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right]$$ уравнение $$\tg x=3$$ имеет корень

    $$x=\arctg 3.$$

    Так как $$\tg x$$ возрастает, получаем

    $$\arctg 3+\pi n<x<\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

1) $$\frac{5\pi}{6}+2\pi n<x<\frac{13\pi}{6}+2\pi n$$;
2) $$-\frac{\pi}{3}+2\pi n\le x\le \frac{4\pi}{3}+2\pi n$$;
3) $$-\frac{\pi}{4}+2\pi n<x<\frac{\pi}{4}+2\pi n$$;
4) $$\frac{\pi}{6}+2\pi n\le x\le \frac{11\pi}{6}+2\pi n$$;
5) $$-\frac{\pi}{2}+\pi n<x<-\frac{\pi}{4}+\pi n$$;
6) $$\frac{\pi}{6}+\pi n\le x<\frac{\pi}{2}+\pi n$$;
7) $$\frac{\pi}{6}+\pi n\le x<\pi+\pi n$$;
8) $$\pi n<x<\frac{3\pi}{4}+\pi n$$;
9) $$\pi-\arcsin\frac16+2\pi n<x<2\pi+\arcsin\frac16+2\pi n$$;
10) $$\arctg 3+\pi n<x<\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$