Упр.32.1 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

Решите неравенство:

1. 1) $$\sin x < \frac{1}{2}$$; 4) $$\cos x ? \frac{\sqrt{3}}{2}$$; 7) $$\operatorname{ctg} x ? \sqrt{3}$$; 10) $$\operatorname{tg} x > 3$$; 2) $$\sin x ? -\frac{\sqrt{3}}{2}$$; 5) $$\operatorname{tg} x < -1$$; 8) $$\operatorname{ctg} x > -1$$; 3) $$\cos x > \frac{\sqrt{2}}{2}$$; 6) $$\operatorname{tg} x ? \frac{\sqrt{3}}{3}$$; 9) $$\sin x < \frac{1}{6}$$.

1) $$\sin x<\frac12$$

На отрезке $$\left[\frac{\pi}{2};\frac{5\pi}{2}\right]$$ уравнение $$\sin x=\frac12$$ имеет корни

$$x=\frac{5\pi}{6},\ \frac{13\pi}{6}.$$

Тогда

$$\frac{5\pi}{6}+2\pi n<x<\frac{13\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

2) $$\sin x\ge -\frac{\sqrt3}{2}$$

На отрезке $$\left[-\frac{\pi}{2};\frac{3\pi}{2}\right]$$ уравнение $$\sin x=-\frac{\sqrt3}{2}$$ имеет корни

$$x=-\frac{\pi}{3},\ \frac{4\pi}{3}.$$

Следовательно,

$$-\frac{\pi}{3}+2\pi n\le x\le \frac{4\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

3) $$\cos x>\frac{\sqrt2}{2}$$

На отрезке $$[-\pi;\pi]$$ уравнение $$\cos x=\frac{\sqrt2}{2}$$ имеет корни

$$x=-\frac{\pi}{4},\ \frac{\pi}{4}.$$

Тогда

$$-\frac{\pi}{4}+2\pi n<x<\frac{\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

4) $$\cos x\le \frac{\sqrt3}{2}$$

На отрезке $$[0;2\pi]$$ уравнение $$\cos x=\frac{\sqrt3}{2}$$ имеет корни

$$x=\frac{\pi}{6},\ \frac{11\pi}{6}.$$

Значит,

$$\frac{\pi}{6}+2\pi n\le x\le \frac{11\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

5) $$\tg x<-1$$

На отрезке $$\left[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right]$$ уравнение $$\tg x=-1$$ имеет корень

$$x=-\frac{\pi}{4}.$$

Следовательно,

$$-\frac{\pi}{2}+\pi n<x<-\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

6) $$\tg x\ge \frac{\sqrt3}{3}$$

На отрезке $$\left[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right]$$ уравнение $$\tg x=\frac{\sqrt3}{3}$$ имеет корень

$$x=\frac{\pi}{6}.$$

Тогда

$$\frac{\pi}{6}+\pi n\le x<\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

7) $$\ctg x\le \sqrt3$$

На отрезке $$[0;\pi]$$ уравнение $$\ctg x=\sqrt3$$ имеет корень

$$x=\frac{\pi}{6}.$$

Следовательно,

$$\frac{\pi}{6}+\pi n\le x<\pi+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

8) $$\ctg x>-1$$

На отрезке $$[0;\pi]$$ уравнение $$\ctg x=-1$$ имеет корень

$$x=\frac{3\pi}{4}.$$

Тогда

$$\pi n<x<\frac{3\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

9) $$\sin x<\frac16$$

На отрезке $$\left[\frac{\pi}{2};\frac{5\pi}{2}\right]$$ уравнение $$\sin x=\frac16$$ имеет корни

$$x=\pi-\arcsin\frac16,\quad x=2\pi+\arcsin\frac16.$$

Значит,

$$\pi-\arcsin\frac16+2\pi n<x<2\pi+\arcsin\frac16+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

10) $$\tg x>3$$

На отрезке $$\left[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right]$$ уравнение $$\tg x=3$$ имеет корень

$$x=\arctg 3.$$

Следовательно,

$$\arctg 3+\pi n<x<\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$