Упр.31.9 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

Решите неравенство:

1. $$\frac{3}{x+2} ? \frac{5}{2-x}$$;
2. $$\frac{2}{1-2x} ? \frac{3}{x+5}$$.

1) $$\frac{3}{x+2}\ge \frac{5}{2-x}$$

Перепишем вторую дробь:

$$\frac{5}{2-x}=-\frac{5}{x-2}$$

Тогда

$$\frac{3}{x+2}+\frac{5}{x-2}\ge 0.$$

Приведём к общему знаменателю:

$$\frac{3(x-2)+5(x+2)}{(x+2)(x-2)}\ge 0$$

$$\frac{3x-6+5x+10}{(x+2)(x-2)}\ge 0$$

$$\frac{8x+4}{(x+2)(x-2)}\ge 0$$

$$\frac{8\left(x+\frac12\right)}{(x+2)(x-2)}\ge 0.$$

Критические точки: $$x=-2,\; x=-\frac12,\; x=2.$$

По знакам на промежутках получаем:

$$x\in(-2;-\tfrac12]\cup(2;+\infty).$$

2) $$\frac{2}{1-2x}\le \frac{3}{x+5}$$

Перенесём всё в одну сторону:

$$\frac{2}{1-2x}-\frac{3}{x+5}\le 0.$$

Так как $$1-2x=-(2x-1),$$ то

$$-\frac{2}{2x-1}-\frac{3}{x+5}\le 0,$$

или

$$\frac{2}{2x-1}+\frac{3}{x+5}\ge 0.$$

Приведём к общему знаменателю:

$$\frac{2(x+5)+3(2x-1)}{(2x-1)(x+5)}\ge 0$$

$$\frac{2x+10+6x-3}{(2x-1)(x+5)}\ge 0$$

$$\frac{8x+7}{(2x-1)(x+5)}\ge 0.$$

Критические точки: $$x=-5,\; x=-\frac78,\; x=\frac12.$$

По знакам на промежутках получаем:

$$x\in(-5;-\tfrac78]\cup(\tfrac12;+\infty).$$

Ответ

1) $$x\in(-2;-\tfrac12]\cup(2;+\infty)$$

2) $$x\in(-5;-\tfrac78]\cup(\tfrac12;+\infty)$$