Упр.31.8 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

Задача

1) cos^2(6x)+cos^2(5x)=1; 4) sin(2x)+cos(2x)=v2sin(x);
2) cos^2(x)-sin^2(2x)+cos^2(3x)=1/2; 5) cos^2(x)+cos^2(2x)=cos^2(3x)+cos^2(4x);
3) cos(2x)-cos(4x)=sin(6x); 6) sin(6x)=2cos(3?/2+2x).

Подробный ответ

$$\cos^2 6x+\cos^2 5x=1$$
Используем формулу $$\cos^2 t=\dfrac{1+\cos 2t}{2}$$:
$$ \frac{1+\cos 12x}{2}+\frac{1+\cos 10x}{2}=1 $$
$$ \cos 12x+\cos 10x=0 $$
$$ 2\cos 11x\cos x=0 $$
Отсюда:
$$ \cos 11x=0 \quad \text{или} \quad \cos x=0 $$
$$ 11x=\frac{\pi}{2}+\pi n \quad \Rightarrow \quad x=\frac{\pi}{22}+\frac{\pi n}{11} $$
$$ x=\frac{\pi}{2}+\pi n $$
$$\cos^2 x-\sin^2 2x+\cos^2 3x=\frac12$$
Преобразуем:
$$ \frac{1+\cos 2x}{2}-\frac{1-\cos 4x}{2}+\frac{1+\cos 6x}{2}=\frac12 $$
$$ \cos 2x+\cos 4x+\cos 6x=0 $$
$$ (\cos 6x+\cos 2x)+\cos 4x=0 $$
$$ 2\cos 4x\cos 2x+\cos 4x=0 $$
$$ \cos 4x\,(2\cos 2x+1)=0 $$
Тогда:
$$ \cos 4x=0 \quad \text{или} \quad \cos 2x=-\frac12 $$
$$ 4x=\frac{\pi}{2}+\pi n \quad \Rightarrow \quad x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{4} $$
$$ 2x=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi n \quad \Rightarrow \quad x=\pm \frac{\pi}{3}+\pi n $$
$$\cos 2x-\cos 4x=\sin 6x$$
Перенесём всё в одну сторону и применим формулы преобразования:
$$ \sin 6x-(\cos 4x-\cos 2x)=0 $$
$$ 2\sin 3x\cos 3x-2\sin 3x\sin x=0 $$
$$ 2\sin 3x(\cos 3x-\sin x)=0 $$
Используем формулу $$\cos 3x-\sin x=\sin\left(\frac{\pi}{2}-3x\right)-\sin x$$ и разложение по произведению:
$$ 2\sin 3x\sin\left(\frac{\pi}{2}-2x\right)\cos\left(\frac{\pi}{4}-x\right)=0 $$
Отсюда:
$$ \sin 3x=0 \quad \text{или} \quad \sin\left(2x-\frac{\pi}{4}\right)=0 \quad \text{или} \quad \cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=0 $$
$$ x=\frac{\pi n}{3}, \quad x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{2}, \quad x=\frac{3\pi}{4}+\pi n $$
$$\sin 2x+\cos 2x=\sqrt2\sin x$$
Преобразуем левую часть:
$$ \sqrt2\left(\sin 2x\cdot \cos\frac{\pi}{4}+\cos 2x\cdot \sin\frac{\pi}{4}\right)=\sqrt2\sin x $$
$$ \sqrt2\sin\left(2x+\frac{\pi}{4}\right)=\sqrt2\sin x $$
$$ \sin\left(2x+\frac{\pi}{4}\right)-\sin x=0 $$
$$ 2\sin\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{8}\right)\cos\left(\frac{3x}{2}+\frac{\pi}{8}\right)=0 $$
Следовательно:
$$ \sin\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{8}\right)=0 \quad \text{или} \quad \cos\left(\frac{3x}{2}+\frac{\pi}{8}\right)=0 $$
$$ x=-\frac{\pi}{4}+2\pi n $$
$$ x=\frac{\pi}{4}+\frac{2\pi n}{3} $$
$$\cos^2 x+\cos^2 2x=\cos^2 3x+\cos^2 4x$$
Переходим к формулам двойного угла:
$$ \frac{1+\cos 2x}{2}+\frac{1+\cos 4x}{2}=\frac{1+\cos 6x}{2}+\frac{1+\cos 8x}{2} $$
$$ \cos 6x+\cos 8x-\cos 2x-\cos 4x=0 $$
$$ (\cos 8x-\cos 4x)+(\cos 6x-\cos 2x)=0 $$
$$ -2\sin 6x\sin 2x-2\sin 4x\sin 2x=0 $$
$$ -2\sin 2x(\sin 6x+\sin 4x)=0 $$
$$ -4\sin 2x\sin 5x\cos x=0 $$
Отсюда:
$$ \sin 2x=0 \quad \text{или} \quad \sin 5x=0 \quad \text{или} \quad \cos x=0 $$
$$ x=\frac{\pi n}{2}, \quad x=\frac{\pi n}{5}, \quad x=\frac{\pi}{2}+\pi n $$
$$\sin 6x=2\cos\left(\frac{3\pi}{2}+2x\right)$$
Так как $$\cos\left(\frac{3\pi}{2}+2x\right)=\sin 2x$$, получаем:
$$ \sin 6x=2\sin 2x $$
$$ \sin 4x\cos 2x+\cos 4x\sin 2x=2\sin 2x $$
$$ 2\sin 2x\cos^2 2x+(1-2\sin^2 2x)\sin 2x-2\sin 2x=0 $$
$$ \sin 2x-4\sin^3 2x=0 $$
$$ \sin 2x\,(1-4\sin^2 2x)=0 $$
Следовательно:
$$ \sin 2x=0 \quad \text{или} \quad \sin 2x=\pm \frac12 $$
$$ x=\frac{\pi n}{2} $$
$$ 2x=\pm \frac{\pi}{6}+\pi n \quad \Rightarrow \quad x=\pm \frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{2} $$