Упр.31.8 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

Решите уравнение:

1. $$\cos^2(6x)+\cos^2(5x)=1$$;
2. $$\sin(2x)+\cos(2x)=\sqrt{2}\sin(x)$$;
3. $$\cos^2(x)-\sin^2(2x)+\cos^2(3x)=\frac{1}{2}$$;
4. $$\cos^2(x)+\cos^2(2x)=\cos^2(3x)+\cos^2(4x)$$;
5. $$\cos(2x)-\cos(4x)=\sin(6x)$$;
6. $$\sin(6x)=2\cos\left(\frac{3\pi}{2}+2x\right)$$.

1) $$\cos^2 6x+\cos^2 5x=1$$

Используем формулу $$\cos^2 t=\frac{1+\cos 2t}{2}$$:

$$\frac{1+\cos 12x}{2}+\frac{1+\cos 10x}{2}=1$$

$$\cos 12x+\cos 10x=0$$

$$2\cos 11x\cos x=0$$

Отсюда:

$$\cos 11x=0 \quad \text{или} \quad \cos x=0$$

$$11x=\frac{\pi}{2}+\pi n \quad \Rightarrow \quad x=\frac{\pi}{22}+\frac{\pi n}{11}$$

$$x=\frac{\pi}{2}+\pi n$$

Но второй набор значений входит в первый при подходящих целых $$n$$, поэтому

$$x=\frac{\pi}{22}+\frac{\pi n}{11}, \quad n\in\mathbb Z$$

2) $$\cos^2 x-\sin^2 2x+\cos^2 3x=\frac12$$

Преобразуем:

$$\frac{1+\cos 2x}{2}-\frac{1-\cos 4x}{2}+\frac{1+\cos 6x}{2}=\frac12$$

$$\cos 2x+\cos 4x+\cos 6x=0$$

$$(\cos 6x+\cos 2x)+\cos 4x=0$$

$$2\cos 4x\cos 2x+\cos 4x=0$$

$$\cos 4x\,(2\cos 2x+1)=0$$

Следовательно,

$$\cos 4x=0 \quad \text{или} \quad \cos 2x=-\frac12$$

1) $$\cos 4x=0 \Rightarrow 4x=\frac{\pi}{2}+\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{4}$$

2) $$\cos 2x=-\frac12 \Rightarrow 2x=\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi n \Rightarrow x=\pm\frac{\pi}{3}+\pi n$$

Итак,

$$x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{4}, \quad x=\pm\frac{\pi}{3}+\pi n, \quad n\in\mathbb Z$$

3) $$\cos 2x-\cos 4x=\sin 6x$$

Перенесём всё в одну сторону и применим формулы:

$$\sin 6x-\cos 4x+\cos 2x=0$$

$$2\sin 3x\cos 3x-2\sin 3x\sin x=0$$

$$2\sin 3x(\cos 3x-\sin x)=0$$

Используем формулу $$\cos 3x-\sin x=2\sin\left(\frac{\pi}{4}-2x\right)\cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right)$$, тогда

$$2\sin 3x\cdot 2\sin\left(\frac{\pi}{4}-2x\right)\cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=0$$

Отсюда:

$$\sin 3x=0 \quad \text{или} \quad \sin\left(2x-\frac{\pi}{4}\right)=0 \quad \text{или} \quad \cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=0$$

Получаем:

$$x=\frac{\pi n}{3}, \quad x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{2}, \quad x=\frac{3\pi}{4}+\pi n, \quad n\in\mathbb Z$$

4) $$\sin 2x+\cos 2x=\sqrt2\sin x$$

Преобразуем левую часть:

$$\sqrt2\left(\sin 2x\cdot\cos\frac{\pi}{4}+\cos 2x\cdot\sin\frac{\pi}{4}\right)=\sqrt2\sin x$$

$$\sqrt2\sin\left(2x+\frac{\pi}{4}\right)=\sqrt2\sin x$$

$$\sin\left(2x+\frac{\pi}{4}\right)-\sin x=0$$

$$2\cos\left(\frac{3x}{2}+\frac{\pi}{8}\right)\sin\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{8}\right)=0$$

Следовательно,

$$\sin\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{8}\right)=0 \quad \text{или} \quad \cos\left(\frac{3x}{2}+\frac{\pi}{8}\right)=0$$

$$x=-\frac{\pi}{4}+2\pi n$$

$$x=\frac{\pi}{4}+\frac{2\pi n}{3}$$

$$n\in\mathbb Z$$

5) $$\cos^2 x+\cos^2 2x=\cos^2 3x+\cos^2 4x$$

Переходим к формулам двойного угла:

$$\frac{1+\cos 2x}{2}+\frac{1+\cos 4x}{2}=\frac{1+\cos 6x}{2}+\frac{1+\cos 8x}{2}$$

$$\cos 2x+\cos 4x-\cos 6x-\cos 8x=0$$

$$(\cos 2x-\cos 6x)+(\cos 4x-\cos 8x)=0$$

$$2\sin 4x\sin 2x+2\sin 6x\sin 2x=0$$

$$2\sin 2x(\sin 4x+\sin 6x)=0$$

$$4\sin 2x\sin 5x\cos x=0$$

Отсюда:

$$\sin 2x=0 \quad \text{или} \quad \sin 5x=0 \quad \text{или} \quad \cos x=0$$

$$x=\frac{\pi n}{2}, \quad x=\frac{\pi n}{5}, \quad x=\frac{\pi}{2}+\pi n, \quad n\in\mathbb Z$$

Так как $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n$$ входит в множество $$x=\frac{\pi n}{2}$$, окончательно

$$x=\frac{\pi n}{5} \quad \text{или} \quad x=\frac{\pi n}{2}, \quad n\in\mathbb Z$$

6) $$\sin 6x=2\cos\left(\frac{3\pi}{2}+2x\right)$$

Используем формулу:

$$\cos\left(\frac{3\pi}{2}+2x\right)=\sin 2x$$

Тогда

$$\sin 6x=2\sin 2x$$

$$\sin 4x\cos 2x+\cos 4x\sin 2x=2\sin 2x$$

$$2\sin 2x\cos^2 2x+(1-2\sin^2 2x)\sin 2x-2\sin 2x=0$$

$$\sin 2x-4\sin^3 2x=0$$

$$\sin 2x\,(1-4\sin^2 2x)=0$$

Следовательно,

$$\sin 2x=0 \quad \text{или} \quad \sin 2x=\pm\frac12$$

Отсюда получаем:

$$x=\frac{\pi n}{2}, \quad x=\pm\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{2}, \quad n\in\mathbb Z$$

Ответ

1) $$x=\frac{\pi}{22}+\frac{\pi n}{11}$$; 2) $$x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{4},\ x=\pm\frac{\pi}{3}+\pi n$$; 3) $$x=\frac{\pi n}{3},\ \frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{2},\ \frac{3\pi}{4}+\pi n$$; 4) $$x=-\frac{\pi}{4}+2\pi n,\ \frac{\pi}{4}+\frac{2\pi n}{3}$$; 5) $$x=\frac{\pi n}{5},\ \frac{\pi n}{2}$$; 6) $$x=\frac{\pi n}{2},\ \pm\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{2}$$, $$n\in\mathbb Z$$.