Упр.31.7 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)
- Решите уравнение:
1) $$\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)+\sin^2\left(\frac{3x}{2}\right)=1$$;
2) $$\cos^2(x)+\cos^2(2x)+\cos^2(3x)=1{,}5$$;
3) $$\cos(2x)-\cos(8x)+\cos(6x)=1$$;
4) $$1-\cos(x)=\operatorname{tg}(x)-\sin(x)$$;
5) $$\sin(x)+\sin(3x)=4\cos^2(x)$$;
6) $$\cos(2x)=\sqrt{2}\bigl(\cos(x)-\sin(x)\bigr)$$;
7) $$\sin^2(x)+\sin^2(2x)-\sin^2(3x)-\sin^2(4x)=0$$;
8) $$\cos^2(x)+\cos^2(2x)+\cos^2(3x)+\cos^2(4x)=2$$;
9) $$\cos(9x)=2\sin\left(\frac{3\pi}{2}-3x\right)$$.
1) $$\sin^2\frac{x}{2}+\sin^2\frac{3x}{2}=1$$
$$\frac{1-\cos x}{2}+\frac{1-\cos 3x}{2}=1$$
$$\cos x+\cos 3x=0$$
$$2\cos 2x\cos x=0$$
Отсюда:
$$\cos 2x=0 \quad \text{или} \quad \cos x=0.$$
$$2x=\frac{\pi}{2}+\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2}$$
$$x=\frac{\pi}{2}+\pi n$$
Ответ: $$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},\ \frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$
2) $$\cos^2x+\cos^22x+\cos^23x=1{,}5$$
$$\frac{1+\cos 2x}{2}+\frac{1+\cos 4x}{2}+\frac{1+\cos 6x}{2}=\frac{3}{2}$$
$$\cos 2x+\cos 4x+\cos 6x=0$$
$$2\cos 4x\cos 2x+\cos 4x=0$$
$$\cos 4x\,(2\cos 2x+1)=0$$
Отсюда:
$$\cos 4x=0 \quad \text{или} \quad \cos 2x=-\frac12.$$
$$4x=\frac{\pi}{2}+\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{4}$$
$$2x=\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi n \Rightarrow x=\pm\frac{\pi}{3}+\pi n$$
Ответ: $$x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{4},\ \pm\frac{\pi}{3}+\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$
3) $$\cos 2x-\cos 8x+\cos 6x=1$$
$$\cos 2x-\cos 8x+\cos 6x-1=0$$
$$-2\sin 5x\sin 3x-(1-2\sin^23x)=0$$
$$2\sin^23x-2\sin 5x\sin 3x=0$$
$$2\sin 3x\,(\sin 3x-\sin 5x)=0$$
$$-4\sin 3x\sin x\cos 4x=0$$
Отсюда:
$$\sin 3x=0 \quad \text{или} \quad \sin x=0 \quad \text{или} \quad \cos 4x=0.$$
$$x=\frac{\pi n}{3},\quad x=\pi n,\quad x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{4},\ n\in\mathbb Z.$$
Ответ: $$x=\frac{\pi n}{3},\ \frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{4},\ n\in\mathbb Z.$$
4) $$1-\cos x=\tg x-\sin x$$
Умножим на $$\cos x$$:
$$\cos x-\cos^2x=\sin x-\sin x\cos x$$
$$\cos x(1-\cos x)=\sin x(1-\cos x)$$
$$\bigl(\sin x-\cos x\bigr)(1-\cos x)=0$$
Отсюда:
$$\sin x-\cos x=0 \quad \text{или} \quad 1-\cos x=0.$$
$$\tg x=1 \Rightarrow x=\frac{\pi}{4}+\pi n$$
$$\cos x=1 \Rightarrow x=2\pi n$$
Ответ: $$x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\ 2\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$
5) $$\sin x+\sin 3x=4\cos^2x$$
$$2\sin 2x\cos x=4\cos^2x$$
$$4\sin x\cos^2x=4\cos^2x$$
$$4\cos^2x(\sin x-1)=0$$
Отсюда:
$$\cos x=0 \quad \text{или} \quad \sin x=1.$$
Оба случая дают одно и то же множество решений:
$$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$
Ответ: $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$
6) $$\cos 2x=\sqrt2(\cos x-\sin x)$$
$$\cos 2x=2\left(\cos\frac{\pi}{4}\cos x-\sin\frac{\pi}{4}\sin x\right)$$
$$\sin\left(2x+\frac{\pi}{2}\right)=2\cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)$$
$$2\cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)\left(\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)-1\right)=0$$
Отсюда:
$$\cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=0 \quad \text{или} \quad \sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=1.$$
Оба случая дают:
$$x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$
Ответ: $$x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$
7) $$\sin^2x+\sin^22x-\sin^23x-\sin^24x=0$$
$$\frac{1-\cos 2x}{2}+\frac{1-\cos 4x}{2}-\frac{1-\cos 6x}{2}-\frac{1-\cos 8x}{2}=0$$
$$\cos 8x+\cos 6x-\cos 4x-\cos 2x=0$$
$$2\cos 7x\cos x-2\cos 3x\cos x=0$$
$$2\cos x(\cos 7x-\cos 3x)=0$$
$$-4\cos x\sin 5x\sin 2x=0$$
Отсюда:
$$\cos x=0 \quad \text{или} \quad \sin 5x=0 \quad \text{или} \quad \sin 2x=0.$$
$$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad x=\frac{\pi n}{5},\quad x=\frac{\pi n}{2},\ n\in\mathbb Z.$$
Ответ: $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\ \frac{\pi n}{5},\ n\in\mathbb Z.$$
8) $$\cos^2x+\cos^22x+\cos^23x+\cos^24x=2$$
$$\frac{1+\cos 2x}{2}+\frac{1+\cos 4x}{2}+\frac{1+\cos 6x}{2}+\frac{1+\cos 8x}{2}=2$$
$$\cos 2x+\cos 4x+\cos 6x+\cos 8x=0$$
$$2\cos 5x\cos 3x+2\cos 5x\cos x=0$$
$$2\cos 5x(\cos 3x+\cos x)=0$$
$$4\cos 5x\cos 2x\cos x=0$$
Отсюда:
$$\cos 5x=0 \quad \text{или} \quad \cos 2x=0 \quad \text{или} \quad \cos x=0.$$
$$x=\frac{\pi}{10}+\frac{\pi n}{5},\quad x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},\quad x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$
Ответ: $$x=\frac{\pi}{10}+\frac{\pi n}{5},\ \frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},\ \frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$
9) $$\cos 9x=2\sin\left(\frac{3\pi}{2}-3x\right)$$
$$\cos 9x=-2\cos 3x$$
$$\cos 6x\cos 3x-\sin 6x\sin 3x+2\cos 3x=0$$
$$\bigl(2\cos^23x-1\bigr)\cos 3x-2\sin^23x\cos 3x+2\cos 3x=0$$
$$4\cos^3 3x-\cos 3x=0$$
$$\cos 3x\,(4\cos^23x-1)=0$$
Отсюда:
$$\cos 3x=0 \quad \text{или} \quad \cos 3x=\pm\frac12.$$
$$3x=\frac{\pi}{2}+\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{3}$$
$$3x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi n \Rightarrow x=\pm\frac{\pi}{9}+\frac{2\pi n}{3}$$
Ответ: $$x=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{3},\ \pm\frac{\pi}{9}+\frac{2\pi n}{3},\ n\in\mathbb Z.$$
