Упр.31.7 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)
1) sin^2(x/2)+sin^2(3x/2)=1;
2) cos^2(x)+cos^2(2x)+cos^2(3x)=1,5;
3) cos(2x)-cos(8x)+cos(6x)=1;
4) 1-cos(x)=tg(x)-sin(x);
5) sin(x)+sin(3x)=4cos^2(x);
6) cos(2x)=v2(cos(x)-sin(x));
7) sin^2(x)+sin^2(2x)-sin^2(3x)-sin^2(4x)=0;
8) cos^2(x)+cos^2(2x)+cos^2(3x)+cos^2(4x)=2;
9) cos(9x)=2sin(3?/2-3x).
$$\sin^2\frac{x}{2}+\sin^2\frac{3x}{2}=1$$
$$\frac{1-\cos x}{2}+\frac{1-\cos 3x}{2}=1$$
$$\cos x+\cos 3x=0$$
$$2\cos 2x\cos x=0$$
Отсюда:
$$\cos 2x=0 \quad \text{или} \quad \cos x=0.$$$$2x=\frac{\pi}{2}+\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2}$$
$$x=\frac{\pi}{2}+\pi n$$
$$\cos^2x+\cos^22x+\cos^23x=1{,}5$$
$$\frac{1+\cos 2x}{2}+\frac{1+\cos 4x}{2}+\frac{1+\cos 6x}{2}=\frac{3}{2}$$
$$\cos 2x+\cos 4x+\cos 6x=0$$
$$2\cos 4x\cos 2x+\cos 4x=0$$
$$\cos 4x\,(2\cos 2x+1)=0$$
Отсюда:
$$\cos 4x=0 \quad \text{или} \quad \cos 2x=-\frac12.$$$$4x=\frac{\pi}{2}+\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{4}$$
$$2x=\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi n \Rightarrow x=\pm\frac{\pi}{3}+\pi n$$
$$\cos 2x-\cos 8x+\cos 6x=1$$
$$\cos 2x+\cos 6x-\cos 8x=1$$
$$2\cos 4x\cos 2x-\cos 8x=1$$
Используем формулы преобразования:
$$\cos 8x=2\cos^2 4x-1,\qquad \cos 4x=2\cos^2 2x-1.$$После преобразований получаем:
$$-4\sin 3x\sin x\cos 4x=0.$$Значит,
$$\sin 3x=0 \quad \text{или} \quad \sin x=0 \quad \text{или} \quad \cos 4x=0.$$$$x=\frac{\pi n}{3},\qquad x=\pi n,\qquad x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{4}.$$
$$1-\cos x=\tg x-\sin x$$
Умножим на $$\cos x$$:
$$\cos x-\cos^2x=\sin x-\sin x\cos x$$$$\cos x(1-\cos x)=\sin x(1-\sin x)$$
$$\bigl(\sin x-\cos x\bigr)(1-\cos x)=0$$
Отсюда:
$$\sin x=\cos x \quad \text{или} \quad \cos x=1.$$$$\tg x=1 \Rightarrow x=\frac{\pi}{4}+\pi n$$
$$\cos x=1 \Rightarrow x=2\pi n$$
$$\sin x+\sin 3x=4\cos^2x$$
$$2\sin 2x\cos x=4\cos^2x$$
$$4\sin x\cos^2x=4\cos^2x$$
$$4\cos^2x(\sin x-1)=0$$
Отсюда:
$$\cos x=0 \quad \text{или} \quad \sin x=1.$$Оба случая дают одно и то же множество решений:
$$x=\frac{\pi}{2}+\pi n.$$$$\cos 2x=\sqrt2(\cos x-\sin x)$$
$$\cos 2x=2\left(\cos\frac{\pi}{4}\cos x-\sin\frac{\pi}{4}\sin x\right)$$
$$\cos 2x=2\cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)$$
Тогда
$$2\cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)\left(\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)-1\right)=0.$$Отсюда:
$$\cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=0 \quad \text{или} \quad \sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=1.$$Оба случая дают:
$$x=\frac{\pi}{4}+\pi n.$$$$\sin^2x+\sin^22x-\sin^23x-\sin^24x=0$$
$$\frac{1-\cos 2x}{2}+\frac{1-\cos 4x}{2}-\frac{1-\cos 6x}{2}-\frac{1-\cos 8x}{2}=0$$
$$\cos 6x+\cos 8x-\cos 2x-\cos 4x=0$$
$$2\cos 7x\cos x-2\cos 3x\cos x=0$$
$$2\cos x(\cos 7x-\cos 3x)=0$$
$$-4\cos x\sin 5x\sin 2x=0$$
Отсюда:
$$\cos x=0 \quad \text{или} \quad \sin 5x=0 \quad \text{или} \quad \sin 2x=0.$$$$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\qquad x=\frac{\pi n}{5},\qquad x=\frac{\pi n}{2}.$$
$$\cos^2x+\cos^22x+\cos^23x+\cos^24x=2$$
$$\frac{1+\cos 2x}{2}+\frac{1+\cos 4x}{2}+\frac{1+\cos 6x}{2}+\frac{1+\cos 8x}{2}=2$$
$$\cos 2x+\cos 4x+\cos 6x+\cos 8x=0$$
$$2\cos 5x\cos 3x+2\cos 5x\cos x=0$$
$$2\cos 5x(\cos 3x+\cos x)=0$$
$$4\cos 5x\cos 2x\cos x=0$$
Отсюда:
$$\cos 5x=0 \quad \text{или} \quad \cos 2x=0 \quad \text{или} \quad \cos x=0.$$$$x=\frac{\pi}{10}+\frac{\pi n}{5},\qquad x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},\qquad x=\frac{\pi}{2}+\pi n.$$
$$\cos 9x=2\sin\left(\frac{3\pi}{2}-3x\right)$$
$$\cos 9x=-2\cos 3x$$
$$\cos(6x+3x)=-2\cos 3x$$
$$\cos 6x\cos 3x-\sin 6x\sin 3x+2\cos 3x=0$$
После преобразований:
$$\cos 3x\,(4\cos^2 3x-1)=0.$$Отсюда:
$$\cos 3x=0 \quad \text{или} \quad 4\cos^2 3x-1=0.$$$$\cos 3x=0 \Rightarrow 3x=\frac{\pi}{2}+\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{3}$$
$$4\cos^2 3x-1=0 \Rightarrow \sin 3x=\pm\frac{\sqrt3}{2} \Rightarrow x=\pm\frac{\pi}{9}+\frac{\pi n}{3}$$
Ответ
- $$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},\ \frac{\pi}{2}+\pi n$$
- $$x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{4},\ \pm\frac{\pi}{3}+\pi n$$
- $$x=\frac{\pi n}{3},\ \pi n,\ \frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{4}$$
- $$x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\ 2\pi n$$
- $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n$$
- $$x=\frac{\pi}{4}+\pi n$$
- $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\ \frac{\pi n}{5},\ \frac{\pi n}{2}$$
- $$x=\frac{\pi}{10}+\frac{\pi n}{5},\ \frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},\ \frac{\pi}{2}+\pi n$$
- $$x=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{3},\ \pm\frac{\pi}{9}+\frac{\pi n}{3}$$
