Упр.31.6 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)
1) sin(2x)+2sin(x)=0; 5) sin(x)+sin(2x)+sin(3x)=0;
2) sin(2x)-cos(x)=2sin(x)-1; 6) cos(9x)-cos(7x)+cos(3x)-cos(x)=0;
3) 1-cos(8x)=sin(4x); 7) sin(x)-sin(2x)+sin(5x)+sin(8x)=0;
4) sin(2x)+sin(4x)+cos(x)=0; 8) v2cos(5x)+sin(3x)-sin(7x)=0.
$$\sin 2x+2\sin x=0$$
$$2\sin x\cos x+2\sin x=0$$
$$2\sin x(\cos x+1)=0$$
Отсюда:
$$\sin x=0 \quad \text{или} \quad \cos x+1=0.$$
$$x=\pi n \quad \text{или} \quad x=\pi+2\pi n.$$
Так как $$\pi+2\pi n=\pi(2n+1),$$ то это входит в общий вид $$x=\pi n.$$
$$\sin 2x-\cos x=2\sin x-1$$
$$2\sin x\cos x-\cos x-2\sin x+1=0$$
$$\cos x(2\sin x-1)-(2\sin x-1)=0$$
$$(\cos x-1)(2\sin x-1)=0$$
Отсюда:
$$\cos x=1 \quad \text{или} \quad \sin x=\frac12.$$
$$x=2\pi n \quad \text{или} \quad x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n.$$
$$1-\cos 8x=\sin 4x$$
$$1-(1-2\sin^2 4x)-\sin 4x=0$$
$$2\sin^2 4x-\sin 4x=0$$
$$\sin 4x(2\sin 4x-1)=0$$
Отсюда:
$$\sin 4x=0 \quad \text{или} \quad \sin 4x=\frac12.$$
$$x=\frac{\pi n}{4} \quad \text{или} \quad x=(-1)^n\frac{\pi}{24}+\frac{\pi n}{4}.$$
$$\sin 2x+\sin 4x+\cos x=0$$
$$\bigl(\sin 4x+\sin 2x\bigr)+\cos x=0$$
$$2\sin 3x\cos x+\cos x=0$$
$$\cos x(2\sin 3x+1)=0$$
Отсюда:
$$\cos x=0 \quad \text{или} \quad \sin 3x=-\frac12.$$
$$x=\frac{\pi}{2}+\pi n \quad \text{или} \quad x=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{18}+\frac{\pi n}{3}.$$
$$\sin x+\sin 2x+\sin 3x=0$$
$$\bigl(\sin 3x+\sin x\bigr)+\sin 2x=0$$
$$2\sin 2x\cos x+\sin 2x=0$$
$$\sin 2x(2\cos x+1)=0$$
Отсюда:
$$\sin 2x=0 \quad \text{или} \quad \cos x=-\frac12.$$
$$x=\frac{\pi n}{2} \quad \text{или} \quad x=\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi n.$$
$$\cos 9x-\cos 7x+\cos 3x-\cos x=0$$
$$\bigl(\cos 9x+\cos 3x\bigr)-\bigl(\cos 7x+\cos x\bigr)=0$$
$$2\cos 6x\cos 3x-2\cos 4x\cos 3x=0$$
$$2\cos 3x(\cos 6x-\cos 4x)=0$$
$$2\cos 3x\bigl(-2\sin 5x\sin x\bigr)=0$$
$$\cos 3x\sin 5x\sin x=0$$
Отсюда:
$$\cos 3x=0 \quad \text{или} \quad \sin 5x=0 \quad \text{или} \quad \sin x=0.$$
$$x=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{3} \quad \text{или} \quad x=\frac{\pi n}{5} \quad \text{или} \quad x=\pi n.$$
$$\sin x-\sin 2x+\sin 5x+\sin 8x=0$$
$$\bigl(\sin 8x-\sin 2x\bigr)+\bigl(\sin 5x+\sin x\bigr)=0$$
$$2\cos 3x\sin 5x+2\sin 3x\cos 2x=0$$
$$2\sin 3x(\cos 5x+\cos 2x)=0$$
$$4\sin 3x\cos \frac{7x}{2}\cos \frac{3x}{2}=0$$
Отсюда:
$$\sin 3x=0 \quad \text{или} \quad \cos \frac{7x}{2}=0 \quad \text{или} \quad \cos \frac{3x}{2}=0.$$
$$x=\frac{\pi n}{3} \quad \text{или} \quad x=\frac{\pi}{7}+\frac{2\pi n}{7} \quad \text{или} \quad x=\frac{\pi}{3}+\frac{2\pi n}{3}.$$
$$\sqrt{2}\cos 5x+\sin 3x-\sin 7x=0$$
$$\sqrt{2}\cos 5x-\bigl(\sin 7x-\sin 3x\bigr)=0$$
$$\sqrt{2}\cos 5x-2\cos 5x\sin 2x=0$$
$$\cos 5x(\sqrt{2}-2\sin 2x)=0$$
Отсюда:
$$\cos 5x=0 \quad \text{или} \quad \sin 2x=\frac{\sqrt{2}}{2}.$$
$$x=\frac{\pi}{10}+\frac{\pi n}{5} \quad \text{или} \quad x=(-1)^n\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{2}.$$
Ответ
1) $$x=\pi n$$;
2) $$x=2\pi n,\; x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n$$;
3) $$x=\frac{\pi n}{4},\; x=(-1)^n\frac{\pi}{24}+\frac{\pi n}{4}$$;
4) $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\; x=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{18}+\frac{\pi n}{3}$$;
5) $$x=\frac{\pi n}{2},\; x=\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi n$$;
6) $$x=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{3},\; x=\frac{\pi n}{5},\; x=\pi n$$;
7) $$x=\frac{\pi n}{3},\; x=\frac{\pi}{7}+\frac{2\pi n}{7},\; x=\frac{\pi}{3}+\frac{2\pi n}{3}$$;
8) $$x=\frac{\pi}{10}+\frac{\pi n}{5},\; x=(-1)^n\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{2},\; n\in\mathbb{Z}.$$
