Упр.31.6 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

1. Решите уравнение:
   1) $$\sin(2x)+2\sin(x)=0$$;
   5) $$\sin(x)+\sin(2x)+\sin(3x)=0$$;
   2) $$\sin(2x)-\cos(x)=2\sin(x)-1$$;
   6) $$\cos(9x)-\cos(7x)+\cos(3x)-\cos(x)=0$$;
   3) $$1-\cos(8x)=\sin(4x)$$;
   7) $$\sin(x)-\sin(2x)+\sin(5x)+\sin(8x)=0$$;
   4) $$\sin(2x)+\sin(4x)+\cos(x)=0$$;
   8) $$\sqrt{2}\cos(5x)+\sin(3x)-\sin(7x)=0$$.

1)

$$\sin 2x+2\sin x=0$$
$$2\sin x\cos x+2\sin x=0$$
$$2\sin x(\cos x+1)=0$$
$$\sin x=0 \quad \text{или} \quad \cos x+1=0$$
$$x=\pi n \quad \text{или} \quad x=\pi+2\pi n,\; n\in\mathbb Z$$

2)

$$\sin 2x-\cos x=2\sin x-1$$
$$2\sin x\cos x-\cos x-2\sin x+1=0$$
$$\cos x(2\sin x-1)-(2\sin x-1)=0$$
$$(\cos x-1)(2\sin x-1)=0$$
$$\cos x=1 \quad \text{или} \quad \sin x=\frac12$$
$$x=2\pi n \quad \text{или} \quad x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,\; n\in\mathbb Z$$

3)

$$1-\cos 8x=\sin 4x$$
$$1-(1-2\sin^2 4x)=\sin 4x$$
$$2\sin^2 4x-\sin 4x=0$$
$$\sin 4x(2\sin 4x-1)=0$$
$$\sin 4x=0 \quad \text{или} \quad \sin 4x=\frac12$$
$$x=\frac{\pi n}{4} \quad \text{или} \quad x=(-1)^n\frac{\pi}{24}+\frac{\pi n}{4},\; n\in\mathbb Z$$

4)

$$\sin 2x+\sin 4x+\cos x=0$$
$$2\sin 3x\cos x+\cos x=0$$
$$\cos x(2\sin 3x+1)=0$$
$$\cos x=0 \quad \text{или} \quad \sin 3x=-\frac12$$
$$x=\frac{\pi}{2}+\pi n \quad \text{или} \quad x=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{18}+\frac{\pi n}{3},\; n\in\mathbb Z$$

5)

$$\sin x+\sin 2x+\sin 3x=0$$
$$(\sin 3x+\sin x)+\sin 2x=0$$
$$2\sin 2x\cos x+\sin 2x=0$$
$$\sin 2x(2\cos x+1)=0$$
$$\sin 2x=0 \quad \text{или} \quad \cos x=-\frac12$$
$$x=\frac{\pi n}{2} \quad \text{или} \quad x=\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\; n\in\mathbb Z$$

6)

$$\cos 9x-\cos 7x+\cos 3x-\cos x=0$$
$$(\cos 9x+\cos 3x)-(\cos 7x+\cos x)=0$$
$$2\cos 6x\cos 3x-2\cos 4x\cos 3x=0$$
$$2\cos 3x(\cos 6x-\cos 4x)=0$$
$$-4\cos 3x\sin 5x\sin x=0$$
$$\cos 3x=0 \quad \text{или} \quad \sin 5x=0 \quad \text{или} \quad \sin x=0$$
$$x=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{3} \quad \text{или} \quad x=\frac{\pi n}{5} \quad \text{или} \quad x=\pi n,\; n\in\mathbb Z$$

7)

$$\sin x-\sin 2x+\sin 5x+\sin 8x=0$$
$$(\sin 8x-\sin 2x)+(\sin 5x+\sin x)=0$$
$$2\cos 5x\sin 3x+2\sin 3x\cos 2x=0$$
$$2\sin 3x(\cos 5x+\cos 2x)=0$$
$$4\sin 3x\cos\frac{7x}{2}\cos\frac{3x}{2}=0$$
$$\sin 3x=0 \quad \text{или} \quad \cos\frac{7x}{2}=0 \quad \text{или} \quad \cos\frac{3x}{2}=0$$
$$x=\frac{\pi n}{3} \quad \text{или} \quad x=\frac{\pi}{7}+\frac{2\pi n}{7} \quad \text{или} \quad x=\frac{\pi}{3}+\frac{2\pi n}{3},\; n\in\mathbb Z$$

8)

$$\sqrt2\cos 5x+\sin 3x-\sin 7x=0$$
$$\sqrt2\cos 5x-(\sin 7x-\sin 3x)=0$$
$$\sqrt2\cos 5x-2\cos 5x\sin 2x=0$$
$$\cos 5x(\sqrt2-2\sin 2x)=0$$
$$\cos 5x=0 \quad \text{или} \quad \sin 2x=\frac{\sqrt2}{2}$$
$$x=\frac{\pi}{10}+\frac{\pi n}{5} \quad \text{или} \quad x=(-1)^n\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{2},\; n\in\mathbb Z$$