Упр.31.4 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

1) sin(?/12+x)+sin(?/4-x)=0; 2) cos(5x)+sin(3x)=0.

1. $$\sin\left(\frac{\pi}{12}+x\right)+\sin\left(\frac{\pi}{4}-x\right)=0$$

   Используем формулу суммы синусов:

   $$ \sin A+\sin B=2\sin\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2} $$

   Тогда

   $$ 2\sin\frac{\left(\frac{\pi}{12}+x\right)+\left(\frac{\pi}{4}-x\right)}{2}\cos\frac{\left(\frac{\pi}{12}+x\right)-\left(\frac{\pi}{4}-x\right)}{2}=0 $$

   $$ 2\sin\frac{\pi}{3}{2}\cos\frac{2x-\frac{\pi}{6}}{2}=0 $$

   $$ \sin\frac{\pi}{6}\cdot \cos\left(x-\frac{\pi}{12}\right)=0 $$

   Так как $$\sin\frac{\pi}{6}\neq 0,$$ получаем

   $$ \cos\left(x-\frac{\pi}{12}\right)=0 $$

   $$ x-\frac{\pi}{12}=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z $$

   $$ x=\frac{7\pi}{12}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z $$

2. $$\cos 5x+\sin 3x=0$$

   Заменим $$\cos 5x$$ через синус:

   $$ \cos 5x=\sin\left(\frac{\pi}{2}-5x\right) $$

   Тогда

   $$ \sin\left(\frac{\pi}{2}-5x\right)+\sin 3x=0 $$

   Применим формулу суммы синусов:

   $$ 2\sin\frac{\left(\frac{\pi}{2}-5x\right)+3x}{2}\cos\frac{\left(\frac{\pi}{2}-5x\right)-3x}{2}=0 $$

   $$ 2\sin\left(\frac{\pi}{4}-x\right)\cos\left(\frac{\pi}{4}-4x\right)=0 $$

   Отсюда:

   $$ \sin\left(\frac{\pi}{4}-x\right)=0 $$

   или

   $$ \cos\left(\frac{\pi}{4}-4x\right)=0 $$

   1) $$\sin\left(\frac{\pi}{4}-x\right)=0$$

   $$ \frac{\pi}{4}-x=\pi n,\quad n\in\mathbb Z $$

   $$ x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z $$

   2) $$\cos\left(\frac{\pi}{4}-4x\right)=0$$

   $$ \frac{\pi}{4}-4x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z $$

   $$ -4x=\frac{\pi}{4}+\pi n $$

   $$ x=-\frac{\pi}{16}-\frac{\pi n}{4} $$

   Переобозначая целое число, получаем

   $$ x=\frac{3\pi}{16}+\frac{\pi n}{4},\quad n\in\mathbb Z $$

Ответ

1) $$x=\frac{7\pi}{12}+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$; 2) $$x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$, $$x=\frac{3\pi}{16}+\frac{\pi n}{4},\ n\in\mathbb Z$$.