Упр.31.4 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

1. Решите уравнение: 1) $$\sin\left(\frac{\pi}{12}+x\right)+\sin\left(\frac{\pi}{4}-x\right)=0$$; 2) $$\cos(5x)+\sin(3x)=0$$.

1) Применим формулу суммы синусов:

$$\sin\left(\frac{\pi}{12}+x\right)+\sin\left(\frac{\pi}{4}-x\right)=2\sin\frac{\left(\frac{\pi}{12}+x\right)+\left(\frac{\pi}{4}-x\right)}{2}\cos\frac{\left(\frac{\pi}{12}+x\right)-\left(\frac{\pi}{4}-x\right)}{2}=0.$$

Тогда

$$2\sin\frac{\pi}{6}\cos\left(x-\frac{\pi}{12}\right)=0,$$

$$\sin\frac{\pi}{6}\cdot \cos\left(x-\frac{\pi}{12}\right)=0.$$

Так как $$\sin\frac{\pi}{6}\neq 0,$$ то

$$\cos\left(x-\frac{\pi}{12}\right)=0.$$

Следовательно,

$$x-\frac{\pi}{12}=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z},$$

$$x=\frac{7\pi}{12}+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

2) Представим $$\cos 5x$$ как синус:

$$\cos 5x=\sin\left(\frac{\pi}{2}-5x\right).$$

Тогда

$$\sin\left(\frac{\pi}{2}-5x\right)+\sin 3x=0.$$

По формуле суммы синусов получаем:

$$2\sin\frac{\left(\frac{\pi}{2}-5x\right)+3x}{2}\cos\frac{\left(\frac{\pi}{2}-5x\right)-3x}{2}=0,$$

$$2\sin\left(\frac{\pi}{4}-x\right)\cos\left(\frac{\pi}{4}-4x\right)=0.$$

Отсюда

$$\sin\left(\frac{\pi}{4}-x\right)=0 \quad \text{или} \quad \cos\left(\frac{\pi}{4}-4x\right)=0.$$

1) $$\sin\left(\frac{\pi}{4}-x\right)=0,$$ значит

$$\frac{\pi}{4}-x=\pi n,\quad n\in\mathbb{Z},$$

$$x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

2) $$\cos\left(\frac{\pi}{4}-4x\right)=0,$$ значит

$$\frac{\pi}{4}-4x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z},$$

$$4x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,$$

$$x=-\frac{\pi}{16}+\frac{\pi n}{4},\quad n\in\mathbb{Z}.$$

Ответ

1) $$x=\frac{7\pi}{12}+\pi n,\ n\in\mathbb{Z}.$$

2) $$x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\ n\in\mathbb{Z};\quad x=-\frac{\pi}{16}+\frac{\pi n}{4},\ n\in\mathbb{Z}.$$