Упр.31.3 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

1) cos(?/4+x)+cos(?/4-x)=0; 3) sin(5x)=cos(4x);
2) sin(?/6+x)-sin(?/6-x)=0; 4) sin(10x)-cos(2x)=0.

1. $$\cos\left(\frac{\pi}{4}+x\right)+\cos\left(\frac{\pi}{4}-x\right)=0$$
   
   Применим формулу суммы косинусов:
   $$2\cos\frac{\left(\frac{\pi}{4}+x\right)-\left(\frac{\pi}{4}-x\right)}{2}\cdot \cos\frac{\left(\frac{\pi}{4}+x\right)+\left(\frac{\pi}{4}-x\right)}{2}=0$$
   $$2\cos x\cdot \cos\frac{\pi}{4}=0$$
   $$\cos x=0$$
   $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$
2. $$\sin\left(\frac{\pi}{6}+x\right)-\sin\left(\frac{\pi}{6}-x\right)=0$$
   
   Используем формулу разности синусов:
   $$2\sin\frac{\left(\frac{\pi}{6}+x\right)-\left(\frac{\pi}{6}-x\right)}{2}\cdot \cos\frac{\left(\frac{\pi}{6}+x\right)+\left(\frac{\pi}{6}-x\right)}{2}=0$$
   $$2\sin x\cdot \cos\frac{\pi}{6}=0$$
   $$\sin x=0$$
   $$x=\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$
3. $$\sin 5x=\cos 4x$$
   
   Заменим косинус:
   $$\sin 5x=\sin\left(\frac{\pi}{2}-4x\right)$$
   Тогда
   $$\sin 5x-\sin\left(\frac{\pi}{2}-4x\right)=0$$
   $$2\sin\frac{5x-\left(\frac{\pi}{2}-4x\right)}{2}\cdot \cos\frac{5x+\left(\frac{\pi}{2}-4x\right)}{2}=0$$
   $$\sin\left(\frac{9x}{2}-\frac{\pi}{4}\right)\cdot \cos\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4}\right)=0$$
   Отсюда:
   $$\sin\left(\frac{9x}{2}-\frac{\pi}{4}\right)=0 \quad \text{или} \quad \cos\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4}\right)=0.$$
   
   1) $$\frac{9x}{2}-\frac{\pi}{4}=\pi n$$
   $$\frac{9x}{2}=\frac{\pi}{4}+\pi n$$
   $$x=\frac{\pi}{18}+\frac{2\pi n}{9}.$$
   
   2) $$\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2}+\pi n$$
   $$\frac{x}{2}=\frac{\pi}{4}+\pi n$$
   $$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n.$$
4. $$\sin 10x-\cos 2x=0$$
   
   Представим косинус через синус:
   $$\cos 2x=\sin\left(\frac{\pi}{2}-2x\right)$$
   Тогда
   $$\sin 10x-\sin\left(\frac{\pi}{2}-2x\right)=0$$
   $$2\sin\frac{10x-\left(\frac{\pi}{2}-2x\right)}{2}\cdot \cos\frac{10x+\left(\frac{\pi}{2}-2x\right)}{2}=0$$
   $$\sin\left(6x-\frac{\pi}{4}\right)\cdot \cos\left(4x+\frac{\pi}{4}\right)=0$$
   Отсюда:
   $$\sin\left(6x-\frac{\pi}{4}\right)=0 \quad \text{или} \quad \cos\left(4x+\frac{\pi}{4}\right)=0.$$
   
   1) $$6x-\frac{\pi}{4}=\pi n$$
   $$6x=\frac{\pi}{4}+\pi n$$
   $$x=\frac{\pi}{24}+\frac{\pi n}{6}.$$
   
   2) $$4x+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2}+\pi n$$
   $$4x=\frac{\pi}{4}+\pi n$$
   $$x=\frac{\pi}{16}+\frac{\pi n}{4}.$$

Ответ

1) $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$

2) $$x=\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$

3) $$x=\frac{\pi}{18}+\frac{2\pi n}{9},\ \frac{\pi}{2}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$

4) $$x=\frac{\pi}{24}+\frac{\pi n}{6},\ \frac{\pi}{16}+\frac{\pi n}{4},\ n\in\mathbb{Z}$$