Упр.31.3 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

Решите уравнение:

1. $$\cos\left(\frac{\pi}{4}+x\right)+\cos\left(\frac{\pi}{4}-x\right)=0$$;
2. $$\sin(5x)=\cos(4x)$$;
3. $$\sin\left(\frac{\pi}{6}+x\right)-\sin\left(\frac{\pi}{6}-x\right)=0$$;
4. $$\sin(10x)-\cos(2x)=0$$.

1) $$\cos\left(\frac{\pi}{4}+x\right)+\cos\left(\frac{\pi}{4}-x\right)=0$$

Используем формулу суммы косинусов:

$$\cos A+\cos B=2\cos\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}$$

Тогда

$$2\cos\frac{\left(\frac{\pi}{4}+x\right)+\left(\frac{\pi}{4}-x\right)}{2}\cos\frac{\left(\frac{\pi}{4}+x\right)-\left(\frac{\pi}{4}-x\right)}{2}=0$$

$$2\cos\frac{\pi}{4}\cos x=0$$

$$\cos x=0$$

$$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}$$

2) $$\sin\left(\frac{\pi}{6}+x\right)-\sin\left(\frac{\pi}{6}-x\right)=0$$

Используем формулу разности синусов:

$$\sin A-\sin B=2\cos\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2}$$

Получаем

$$2\cos\frac{\left(\frac{\pi}{6}+x\right)+\left(\frac{\pi}{6}-x\right)}{2}\sin\frac{\left(\frac{\pi}{6}+x\right)-\left(\frac{\pi}{6}-x\right)}{2}=0$$

$$2\cos\frac{\pi}{6}\sin x=0$$

$$\sin x=0$$

$$x=\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}$$

3) $$\sin 5x=\cos 4x$$

Заменим косинус синусом:

$$\cos 4x=\sin\left(\frac{\pi}{2}-4x\right)$$

Тогда

$$\sin 5x-\sin\left(\frac{\pi}{2}-4x\right)=0$$

Используем формулу разности синусов:

$$2\cos\frac{5x+\left(\frac{\pi}{2}-4x\right)}{2}\sin\frac{5x-\left(\frac{\pi}{2}-4x\right)}{2}=0$$

$$\cos\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4}\right)\sin\left(\frac{9x}{2}-\frac{\pi}{4}\right)=0$$

Отсюда:

$$\cos\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4}\right)=0 \quad \text{или} \quad \sin\left(\frac{9x}{2}-\frac{\pi}{4}\right)=0$$

1) $$\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2}+\pi n$$

$$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n$$

2) $$\frac{9x}{2}-\frac{\pi}{4}=\pi n$$

$$x=\frac{\pi}{18}+\frac{2\pi n}{9}$$

$$n\in\mathbb{Z}$$

4) $$\sin 10x-\cos 2x=0$$

Заменим косинус синусом:

$$\cos 2x=\sin\left(\frac{\pi}{2}-2x\right)$$

Тогда

$$\sin 10x-\sin\left(\frac{\pi}{2}-2x\right)=0$$

Используем формулу разности синусов:

$$2\cos\frac{10x+\left(\frac{\pi}{2}-2x\right)}{2}\sin\frac{10x-\left(\frac{\pi}{2}-2x\right)}{2}=0$$

$$\cos\left(4x+\frac{\pi}{4}\right)\sin\left(6x-\frac{\pi}{4}\right)=0$$

Отсюда:

$$\cos\left(4x+\frac{\pi}{4}\right)=0 \quad \text{или} \quad \sin\left(6x-\frac{\pi}{4}\right)=0$$

1) $$4x+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2}+\pi n$$

$$x=\frac{\pi}{16}+\frac{\pi n}{4}$$

2) $$6x-\frac{\pi}{4}=\pi n$$

$$x=\frac{\pi}{24}+\frac{\pi n}{6}$$

$$n\in\mathbb{Z}$$

Ответ: 1) $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n$$; 2) $$x=\pi n$$; 3) $$x=\frac{\pi}{18}+\frac{2\pi n}{9},\ \frac{\pi}{2}+2\pi n$$; 4) $$x=\frac{\pi}{24}+\frac{\pi n}{6},\ \frac{\pi}{16}+\frac{\pi n}{4}$$, $$n\in\mathbb{Z}$$.