Упр.31.2 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

1) sin(7x)+sin(x)=0; 3) tg^3(x)+tg^2(x)-2tg(x)-2=0;
2) cos(9x)-cos(x)=0; 4) v2cos(x)ctg(x)-3v2cos(x)+ctg(x)-3=0.

1. $$\sin 7x+\sin x=0$$
   $$2\sin \frac{7x+x}{2}\cdot \cos \frac{7x-x}{2}=0$$
   $$2\sin 4x\cdot \cos 3x=0$$
   Отсюда:
   $$\sin 4x=0 \quad \text{или} \quad \cos 3x=0.$$
   Тогда
   $$4x=\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi n}{4},$$
   $$3x=\frac{\pi}{2}+\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{3}, \quad n\in \mathbb{Z}.$$
2. $$\cos 9x-\cos x=0$$
   $$-2\sin \frac{9x+x}{2}\cdot \sin \frac{9x-x}{2}=0$$
   $$-2\sin 5x\cdot \sin 4x=0$$
   Отсюда:
   $$\sin 5x=0 \quad \text{или} \quad \sin 4x=0.$$
   Тогда
   $$5x=\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi n}{5},$$
   $$4x=\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi n}{4}, \quad n\in \mathbb{Z}.$$
3. $$\tg^3 x+\tg^2 x-2\tg x-2=0$$
   $$\tg^2 x(\tg x+1)-2(\tg x+1)=0$$
   $$(\tg^2 x-2)(\tg x+1)=0$$
   Отсюда:
   $$\tg^2 x-2=0 \quad \text{или} \quad \tg x+1=0.$$
   Тогда
   $$\tg x=\pm \sqrt{2} \Rightarrow x=\pm \arctg \sqrt{2}+\pi n,$$
   $$\tg x=-1 \Rightarrow x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}.$$
4. $$\sqrt{2}\cos x\cdot \ctg x-3\sqrt{2}\cos x+\ctg x-3=0$$
   $$\ctg x(\sqrt{2}\cos x+1)-3(\sqrt{2}\cos x+1)=0$$
   $$(\ctg x-3)(\sqrt{2}\cos x+1)=0$$
   Отсюда:
   $$\ctg x-3=0 \quad \text{или} \quad \sqrt{2}\cos x+1=0.$$
   Тогда
   $$\ctg x=3 \Rightarrow x=\operatorname{arcctg} 3+\pi n,$$
   $$\cos x=-\frac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow x=\pm \frac{3\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}.$$

Ответ

1) $$x=\frac{\pi n}{4},\ \frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{3},\ n\in \mathbb{Z}.$$
2) $$x=\frac{\pi n}{4},\ \frac{\pi n}{5},\ n\in \mathbb{Z}.$$
3) $$x=\pm \arctg \sqrt{2}+\pi n,\ -\frac{\pi}{4}+\pi n,\ n\in \mathbb{Z}.$$
4) $$x=\operatorname{arcctg} 3+\pi n,\ \pm \frac{3\pi}{4}+2\pi n,\ n\in \mathbb{Z}.$$