Упр.31.1 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

1. Решите уравнение:
   1) $$\cos(x)+\cos(3x)=0$$;
   3) $$2\sin(x)\cos(2x)-\sin(x)+2\cos(2x)-1=0$$;
   2) $$\sin(5x)-\sin(x)=0$$;
   4) $$2\sin(x)\operatorname{tg}(x)+2\sqrt{3}\sin(x)-\operatorname{tg}(x)-\sqrt{3}=0$$.

1) $$\cos x+\cos 3x=0$$

Используем формулу суммы косинусов:

$$\cos x+\cos 3x=2\cos 2x\cos x.$$

Тогда

$$2\cos 2x\cos x=0,$$

откуда

$$\cos 2x=0 \quad \text{или} \quad \cos x=0.$$

1) $$\cos 2x=0 \Rightarrow 2x=\frac{\pi}{2}+\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2};$$

2) $$\cos x=0 \Rightarrow x=\frac{\pi}{2}+\pi n.$$

Ответ: $$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},\ \frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb{Z}.$$

2) $$\sin 5x-\sin x=0$$

Применим формулу разности синусов:

$$\sin 5x-\sin x=2\sin 2x\cos 3x.$$

Тогда

$$2\sin 2x\cos 3x=0,$$

откуда

$$\sin 2x=0 \quad \text{или} \quad \cos 3x=0.$$

1) $$\sin 2x=0 \Rightarrow 2x=\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi n}{2};$$

2) $$\cos 3x=0 \Rightarrow 3x=\frac{\pi}{2}+\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{3}.$$

Ответ: $$x=\frac{\pi n}{2},\ \frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{3},\ n\in\mathbb{Z}.$$

3) $$2\sin x\cos 2x-\sin x+2\cos 2x-1=0$$

Сгруппируем слагаемые:

$$\sin x(2\cos 2x-1)+(2\cos 2x-1)=0.$$

Вынесем общий множитель:

$$\bigl(\sin x+1\bigr)\bigl(2\cos 2x-1\bigr)=0.$$

Тогда

$$\sin x+1=0 \quad \text{или} \quad 2\cos 2x-1=0.$$

1) $$\sin x=-1 \Rightarrow x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n;$$

2) $$2\cos 2x-1=0 \Rightarrow \cos 2x=\frac12.$$

Отсюда

$$2x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi n \Rightarrow x=\pm\frac{\pi}{6}+\pi n.$$

Ответ: $$x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\ \pm\frac{\pi}{6}+\pi n,\ n\in\mathbb{Z}.$$

4) $$2\sin x\tg x+2\sqrt3\sin x-\tg x-\sqrt3=0$$

Сгруппируем выражение:

$$\tg x(2\sin x-1)+\sqrt3(2\sin x-1)=0.$$

Тогда

$$\bigl(\tg x+\sqrt3\bigr)\bigl(2\sin x-1\bigr)=0.$$

Следовательно,

$$\tg x+\sqrt3=0 \quad \text{или} \quad 2\sin x-1=0.$$

1) $$\tg x=-\sqrt3 \Rightarrow x=-\frac{\pi}{3}+\pi n;$$

2) $$2\sin x-1=0 \Rightarrow \sin x=\frac12.$$

Отсюда

$$x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n.$$

Ответ: $$x=-\frac{\pi}{3}+\pi n,\ (-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,\ n\in\mathbb{Z}.$$