Упр.31.1 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

1) cos(x)+cos(3x)=0; 3) 2sin(x)cos(2x)-sin(x)+2cos(2x)-1=0;
2) sin(5x)-sin(x)=0; 4) 2sin(x)tg(x)+2v3sin(x)-tg(x)-v3=0.

1. $$\cos x+\cos 3x=0$$

   Используем формулу суммы косинусов:
   $$\cos x+\cos 3x=2\cos 2x\cos x.$$

   Тогда
   $$ 2\cos 2x\cos x=0, $$
   откуда
   $$ \cos 2x=0 \quad \text{или} \quad \cos x=0. $$

   1) $$\cos 2x=0$$
   $$ 2x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2}. $$

   2) $$\cos x=0$$
   $$ x=\frac{\pi}{2}+\pi n. $$

2. $$\sin 5x-\sin x=0$$

   Применим формулу разности синусов:
   $$\sin 5x-\sin x=2\cos 3x\sin 2x.$$

   Тогда
   $$ 2\cos 3x\sin 2x=0, $$
   откуда
   $$ \sin 2x=0 \quad \text{или} \quad \cos 3x=0. $$

   1) $$\sin 2x=0$$
   $$ 2x=\pi n,\quad x=\frac{\pi n}{2}. $$

   2) $$\cos 3x=0$$
   $$ 3x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad x=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{3}. $$

3. $$2\sin x\cos 2x-\sin x+2\cos 2x-1=0$$

   Сгруппируем слагаемые:
   $$ \sin x(2\cos 2x-1)+(2\cos 2x-1)=0. $$

   Вынесем общий множитель:
   $$ (\sin x+1)(2\cos 2x-1)=0. $$

   Тогда
   $$ \sin x+1=0 \quad \text{или} \quad 2\cos 2x-1=0. $$

   1) $$\sin x=-1$$
   $$ x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n. $$

   2) $$2\cos 2x-1=0$$
   $$ \cos 2x=\frac12, $$
   $$ 2x=\pm \frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad x=\pm \frac{\pi}{6}+\pi n. $$

4. $$2\sin x\tg x+2\sqrt3\sin x-\tg x-\sqrt3=0$$

   Сгруппируем:
   $$ \tg x(2\sin x-1)+\sqrt3(2\sin x-1)=0. $$

   Вынесем общий множитель:
   $$ (\tg x+\sqrt3)(2\sin x-1)=0. $$

   Тогда
   $$ \tg x+\sqrt3=0 \quad \text{или} \quad 2\sin x-1=0. $$

   1) $$\tg x=-\sqrt3$$
   $$ x=-\frac{\pi}{3}+\pi n. $$

   2) $$2\sin x-1=0$$
   $$ \sin x=\frac12, $$
   $$ x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n. $$

Ответ

1) $$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},\ \frac{\pi}{2}+\pi n$$

2) $$x=\frac{\pi n}{2},\ \frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{3}$$

3) $$x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\ \pm\frac{\pi}{6}+\pi n$$

4) $$x=-\frac{\pi}{3}+\pi n,\ (-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$