Упр.30.9 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

Найдите наибольший отрицательный корень уравнения $$\sin^2(x)+\cos(x)+1=0$$.

$$\sin^2 x+\cos x+1=0$$

Заменим $$\sin^2 x$$ через $$1-\cos^2 x$$:

$$1-\cos^2 x+\cos x+1=0$$

$$\cos^2 x-\cos x-2=0$$

Пусть $$y=\cos x$$. Тогда получаем квадратное уравнение:

$$y^2-y-2=0$$

$$D=1+8=9$$

$$y_{1,2}=\frac{1\pm 3}{2}$$

$$y_1=-1,\quad y_2=2$$

Так как $$\cos x$$ может принимать только значения из промежутка $$[-1;1]$$, значение $$y=2$$ не подходит.

Остаётся:

$$\cos x=-1$$

Отсюда

$$x=\pi+2\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}$$

Наибольший отрицательный корень получается при $$n=-1$$:

$$x=\pi-2\pi=-\pi$$

Ответ: $$-\pi$$