Упр.30.9 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Полонский 10 класс, Вентана-Граф: 30.9. Найдите наибольший отрицательный корень уравнения sin^2(x)+cos(x)+1=0.

Преобразуем уравнение:

$$\sin^2 x+\cos x+1=0$$

Так как $$\sin^2 x=1-\cos^2 x$$, получаем:

$$1-\cos^2 x+\cos x+1=0$$

$$\cos^2 x-\cos x-2=0$$

Положим $$y=\cos x$$. Тогда:

$$y^2-y-2=0$$

$$D=(-1)^2-4\cdot 1\cdot(-2)=1+8=9$$

$$y_{1,2}=\frac{1\pm 3}{2}$$

Отсюда:

$$y_1=-1,\quad y_2=2$$

Но $$\cos x=2$$ невозможно, так как $$-1\le \cos x\le 1$$. Значит, остаётся:

$$\cos x=-1$$

Тогда

$$x=\pi+2\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}$$

Наибольший отрицательный корень получается при $$n=-1$$:

$$x=\pi-2\pi=-\pi$$

Ответ

$$-\pi$$