Упр.30.8 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

1) sin^2(x)+3cos^2(x)-2sin(2x)=0;
2) 5sin^2(x)-5sin(x)cos(x)+2cos^2(x)=1;
3) 6sin^2(x)+2sin(2x)+4cos^2(x)=3;
4) 2cos^2(x)+sin(2x)-2=0;
5) 3sin^2(x)-2v3sin(x)cos(x)+5cos^2(x)=2;
6) (2sin(x)-cos(x))/(5sin(x)-4cos(x))=1/3.

1. $$\sin^2 x+3\cos^2 x-2\sin 2x=0$$
   $$\sin^2 x+3\cos^2 x-4\sin x\cos x=0$$
   $$\sin^2 x-4\sin x\cos x+3\cos^2 x=0$$
   $$\cos^2 x\left(\tg^2 x-4\tg x+3\right)=0$$

   $$\tg^2 x-4\tg x+3=0$$
   $$y^2-4y+3=0$$
   $$y_1=1,\quad y_2=3$$

   $$\tg x=1 \Rightarrow x=\frac{\pi}{4}+\pi n$$
   $$\tg x=3 \Rightarrow x=\arctg 3+\pi n$$

2. $$5\sin^2 x-5\sin x\cos x+2\cos^2 x=1$$
   $$5\sin^2 x-5\sin x\cos x+2\cos^2 x-1=0$$
   $$4\sin^2 x-5\sin x\cos x+\cos^2 x=0$$
   $$\cos^2 x\left(4\tg^2 x-5\tg x+1\right)=0$$

   $$4\tg^2 x-5\tg x+1=0$$
   $$y^2-5y+4=0$$
   $$y_1=\frac14,\quad y_2=1$$

   $$\tg x=\frac14 \Rightarrow x=\arctg \frac14+\pi n$$
   $$\tg x=1 \Rightarrow x=\frac{\pi}{4}+\pi n$$

3. $$6\sin^2 x+2\sin 2x+4\cos^2 x=3$$
   $$6\sin^2 x+4\sin x\cos x+4\cos^2 x=3$$
   $$3\sin^2 x+4\sin x\cos x+\cos^2 x=0$$
   $$\cos^2 x\left(3\tg^2 x+4\tg x+1\right)=0$$

   $$3\tg^2 x+4\tg x+1=0$$
   $$y^2+\frac43y+\frac13=0$$
   $$y_1=-1,\quad y_2=-\frac13$$

   $$\tg x=-1 \Rightarrow x=-\frac{\pi}{4}+\pi n$$
   $$\tg x=-\frac13 \Rightarrow x=-\arctg \frac13+\pi n$$

4. $$2\cos^2 x+\sin 2x-2=0$$
   $$2\cos^2 x+2\sin x\cos x-2=0$$
   $$2\sin x\cos x-2\sin^2 x=0$$
   $$2\sin x(\cos x-\sin x)=0$$

   $$\sin x=0 \Rightarrow x=\pi n$$
   $$\cos x-\sin x=0 \Rightarrow \tg x=1 \Rightarrow x=\frac{\pi}{4}+\pi n$$

5. $$3\sin^2 x-2\sqrt3\sin x\cos x+5\cos^2 x=2$$
   $$3\sin^2 x-2\sqrt3\sin x\cos x+3\cos^2 x=0$$
   $$\cos^2 x\left(3\tg^2 x-2\sqrt3\tg x+3\right)=0$$

   $$3\tg^2 x-2\sqrt3\tg x+3=0$$
   $$(\tg x-\sqrt3)^2=0$$
   $$\tg x=\sqrt3$$
   $$x=\frac{\pi}{3}+\pi n$$

6. $$\frac{2\sin x-\cos x}{5\sin x-4\cos x}=\frac13$$
   $$3(2\sin x-\cos x)=5\sin x-4\cos x$$
   $$6\sin x-3\cos x=5\sin x-4\cos x$$
   $$\sin x=-\cos x$$
   $$\tg x=-1$$
   $$x=-\frac{\pi}{4}+\pi n$$

Ответ

1) $$x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\ \arctg 3+\pi n$$;
2) $$x=\arctg \frac14+\pi n,\ \frac{\pi}{4}+\pi n$$;
3) $$x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\ -\arctg \frac13+\pi n$$;
4) $$x=\pi n,\ \frac{\pi}{4}+\pi n$$;
5) $$x=\frac{\pi}{3}+\pi n$$;
6) $$x=-\frac{\pi}{4}+\pi n$$, $$n\in\mathbb{Z}$$.