Упр.30.8 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

1. Решите уравнение: 1) $$\sin^2(x)+3\cos^2(x)-2\sin(2x)=0$$; 2) $$5\sin^2(x)-5\sin(x)\cos(x)+2\cos^2(x)=1$$; 3) $$6\sin^2(x)+2\sin(2x)+4\cos^2(x)=3$$; 4) $$2\cos^2(x)+\sin(2x)-2=0$$; 5) $$3\sin^2(x)-2\sqrt{3}\sin(x)\cos(x)+5\cos^2(x)=2$$; 6) $$\frac{2\sin(x)-\cos(x)}{5\sin(x)-4\cos(x)}=\frac{1}{3}$$.

1) $$\sin^2 x+3\cos^2 x-2\sin 2x=0$$

$$\sin^2 x+3\cos^2 x-4\sin x\cos x=0$$

$$\sin^2 x-4\sin x\cos x+3\cos^2 x=0$$

$$\cos^2 x\left(\tg^2 x-4\tg x+3\right)=0$$

Если $$\cos x=0,$$ то исходное уравнение не выполняется. Поэтому делим на $$\cos^2 x$$:

$$\tg^2 x-4\tg x+3=0$$

$$\left(\tg x-1\right)\left(\tg x-3\right)=0$$

$$\tg x=1 \quad \text{или} \quad \tg x=3$$

$$x=\frac{\pi}{4}+\pi n \quad \text{или} \quad x=\arctg 3+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

2) $$5\sin^2 x-5\sin x\cos x+2\cos^2 x=1$$

$$5\sin^2 x-5\sin x\cos x+2\cos^2 x-\left(\sin^2 x+\cos^2 x\right)=0$$

$$4\sin^2 x-5\sin x\cos x+\cos^2 x=0$$

$$\cos^2 x\left(4\tg^2 x-5\tg x+1\right)=0$$

Если $$\cos x=0,$$ то уравнение не выполняется. Тогда

$$4\tg^2 x-5\tg x+1=0$$

$$\left(4\tg x-1\right)\left(\tg x-1\right)=0$$

$$\tg x=\frac14 \quad \text{или} \quad \tg x=1$$

$$x=\arctg \frac14+\pi n \quad \text{или} \quad x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

3) $$6\sin^2 x+2\sin 2x+4\cos^2 x=3$$

$$6\sin^2 x+4\sin x\cos x+4\cos^2 x=3$$

$$3\sin^2 x+4\sin x\cos x+\cos^2 x=0$$

$$\cos^2 x\left(3\tg^2 x+4\tg x+1\right)=0$$

Если $$\cos x=0,$$ то исходное уравнение не выполняется. Тогда

$$3\tg^2 x+4\tg x+1=0$$

$$\left(3\tg x+1\right)\left(\tg x+1\right)=0$$

$$\tg x=-\frac13 \quad \text{или} \quad \tg x=-1$$

$$x=-\arctg \frac13+\pi n \quad \text{или} \quad x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

4) $$2\cos^2 x+\sin 2x-2=0$$

$$2\cos^2 x+2\sin x\cos x-2=0$$

$$2\cos^2 x+2\sin x\cos x-2\left(\sin^2 x+\cos^2 x\right)=0$$

$$2\sin x\cos x-2\sin^2 x=0$$

$$2\sin x\left(\cos x-\sin x\right)=0$$

Отсюда

$$\sin x=0 \quad \text{или} \quad \cos x-\sin x=0.$$

1) $$\sin x=0 \Rightarrow x=\pi n.$$

2) $$\cos x=\sin x \Rightarrow \tg x=1 \Rightarrow x=\frac{\pi}{4}+\pi n.$$

Итак, $$x=\pi n$$ или $$x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

5) $$3\sin^2 x-2\sqrt3\,\sin x\cos x+5\cos^2 x=2$$

$$3\sin^2 x-2\sqrt3\,\sin x\cos x+5\cos^2 x-2\left(\sin^2 x+\cos^2 x\right)=0$$

$$\sin^2 x-2\sqrt3\,\sin x\cos x+3\cos^2 x=0$$

$$\cos^2 x\left(\tg^2 x-2\sqrt3\,\tg x+3\right)=0$$

Если $$\cos x=0,$$ то уравнение не выполняется. Тогда

$$\tg^2 x-2\sqrt3\,\tg x+3=0$$

$$\left(\tg x-\sqrt3\right)^2=0$$

$$\tg x=\sqrt3$$

$$x=\frac{\pi}{3}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

6) $$\frac{2\sin x-\cos x}{5\sin x-4\cos x}=\frac13$$

ОДЗ: $$5\sin x-4\cos x\ne 0.$$

Умножим на знаменатель:

$$3\left(2\sin x-\cos x\right)=5\sin x-4\cos x$$

$$6\sin x-3\cos x=5\sin x-4\cos x$$

$$\sin x+\cos x=0$$

$$\tg x=-1$$

$$x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Это значение удовлетворяет ОДЗ.

Ответ

1) $$x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\ \arctg 3+\pi n$$

2) $$x=\arctg \frac14+\pi n,\ \frac{\pi}{4}+\pi n$$

3) $$x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\ -\arctg \frac13+\pi n$$

4) $$x=\pi n,\ \frac{\pi}{4}+\pi n$$

5) $$x=\frac{\pi}{3}+\pi n$$

6) $$x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$