Упр.30.7 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)
Решите уравнение:
- 1) $$\sin^2(x)+0{,}5\sin(2x)-2\cos^2(x)=0$$;
2) $$\cos^2(5x)+7\sin^2(5x)=4\sin(10x)$$;
3) $$(\cos(x)+\sin(x))^2=1-\cos(2x)$$;
4) $$3\sin^2(x)-7\sin(x)\cos(x)+14\cos^2(x)-2=0$$;
5) $$5\cos^2(x)-3\sin^2(x)-\sin(2x)=2$$;
6) $$3\sin^2(x)+\sin(x)\cos(x)+4\cos^2(x)=3$$;
7) $$3\sin(x)\cos(x)+\cos^2(x)=1$$;
8) $$\frac{2\cos(x)+\sin(x)}{7\sin(x)-\cos(x)}=\frac{1}{2}$$.
1) $$\sin^2 x+0{,}5\sin 2x-2\cos^2 x=0$$
$$\sin^2 x+\sin x\cos x-2\cos^2 x=0$$
$$\cos^2 x\left(\tg^2 x+\tg x-2\right)=0$$
$$\tg^2 x+\tg x-2=0$$
Пусть $$y=\tg x$$, тогда
$$y^2+y-2=0$$
$$\left(y+2\right)\left(y-1\right)=0$$
$$y=-2 \quad \text{или} \quad y=1$$
Следовательно,
$$\tg x=-2 \quad \text{или} \quad \tg x=1$$
$$x=-\arctg 2+\pi n \quad \text{или} \quad x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\; n\in\mathbb Z$$
2) $$\cos^2 5x+7\sin^2 5x=4\sin 10x$$
$$\cos^2 5x+7\sin^2 5x=8\sin 5x\cos 5x$$
$$7\sin^2 5x-8\sin 5x\cos 5x+\cos^2 5x=0$$
$$\cos^2 5x\left(7\tg^2 5x-8\tg 5x+1\right)=0$$
Пусть $$y=\tg 5x$$, тогда
$$7y^2-8y+1=0$$
$$D=64-28=36$$
$$y_1=\frac{8-6}{14}=\frac17,\qquad y_2=\frac{8+6}{14}=1$$
Значит,
$$\tg 5x=\frac17 \quad \text{или} \quad \tg 5x=1$$
$$x=\frac15\arctg\frac17+\frac{\pi n}{5} \quad \text{или} \quad x=\frac{\pi}{20}+\frac{\pi n}{5},\; n\in\mathbb Z$$
3) $$\left(\cos x+\sin x\right)^2=1-\cos 2x$$
$$\cos^2 x+2\sin x\cos x+\sin^2 x=1-\cos 2x$$
$$1+\sin 2x=1-\cos 2x$$
$$\sin 2x=-\cos 2x$$
$$\tg 2x=-1$$
$$2x=-\frac{\pi}{4}+\pi n$$
$$x=-\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{2},\; n\in\mathbb Z$$
4) $$3\sin^2 x-7\sin x\cos x+14\cos^2 x-2=0$$
$$3\sin^2 x-7\sin x\cos x+12\cos^2 x=0$$
$$\cos^2 x\left(3\tg^2 x-7\tg x+12\right)=0$$
Пусть $$y=\tg x$$, тогда
$$3y^2-7y+12=0$$
$$D=49-144=-95<0$$
Действительных корней нет, а при $$\cos x=0$$ левая часть равна $$3\neq 0$$. Следовательно, решений нет.
5) $$5\cos^2 x-3\sin^2 x-\sin 2x=2$$
$$5\cos^2 x-3\sin^2 x-2\sin x\cos x=2$$
$$3\cos^2 x-5\sin^2 x-2\sin x\cos x=0$$
$$\cos^2 x\left(3-5\tg^2 x-2\tg x\right)=0$$
Пусть $$y=\tg x$$, тогда
$$5y^2+2y-3=0$$
$$D=4+60=64$$
$$y_1=\frac{-2-8}{10}=-1,\qquad y_2=\frac{-2+8}{10}=\frac35$$
Значит,
$$\tg x=-1 \quad \text{или} \quad \tg x=\frac35$$
$$x=-\frac{\pi}{4}+\pi n \quad \text{или} \quad x=\arctg\frac35+\pi n,\; n\in\mathbb Z$$
6) $$3\sin^2 x+\sin x\cos x+4\cos^2 x=3$$
$$3\sin^2 x+\sin x\cos x+4\cos^2 x-3=0$$
$$3\sin^2 x+\sin x\cos x+\cos^2 x=0$$
$$\sin x\cos x+\cos^2 x=0$$
$$\cos x\left(\sin x+\cos x\right)=0$$
Отсюда:
$$\cos x=0 \quad \text{или} \quad \sin x+\cos x=0$$
$$x=\frac{\pi}{2}+\pi n \quad \text{или} \quad \tg x=-1,\; n\in\mathbb Z$$
$$x=\frac{\pi}{2}+\pi n \quad \text{или} \quad x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\; n\in\mathbb Z$$
7) $$3\sin x\cos x+\cos^2 x=1$$
$$3\sin x\cos x-\sin^2 x=0$$
$$\sin x\left(3\cos x-\sin x\right)=0$$
Следовательно,
$$\sin x=0 \quad \text{или} \quad 3\cos x-\sin x=0$$
$$x=\pi n \quad \text{или} \quad \tg x=3,\; n\in\mathbb Z$$
$$x=\pi n \quad \text{или} \quad x=\arctg 3+\pi n,\; n\in\mathbb Z$$
8) $$\frac{2\cos x+\sin x}{7\sin x-\cos x}=\frac12$$
$$2\left(2\cos x+\sin x\right)=7\sin x-\cos x$$
$$4\cos x+2\sin x=7\sin x-\cos x$$
$$5\cos x=5\sin x$$
$$\sin x=\cos x$$
При этом $$7\sin x-\cos x\neq 0$$, и для найденных значений это условие выполняется.
$$\tg x=1$$
$$x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\; n\in\mathbb Z$$
Ответ
1) $$x=-\arctg 2+\pi n,\ \frac{\pi}{4}+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$
2) $$x=\frac15\arctg\frac17+\frac{\pi n}{5},\ \frac{\pi}{20}+\frac{\pi n}{5},\ n\in\mathbb Z$$
3) $$x=-\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{2},\ n\in\mathbb Z$$
4) решений нет
5) $$x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\ \arctg\frac35+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$
6) $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\ -\frac{\pi}{4}+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$
7) $$x=\pi n,\ \arctg 3+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$
8) $$x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$
