Упр.30.7 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)
1) sin^2(x)+0,5sin(2x)-2cos^2(x)=0;
2) cos^2(5x)+7sin^2(5x)=4sin(10x);
3) (cos(x)+sin(x))^2=1-cos(2x);
4) 3sin^2(x)-7sin(x)cos(x)+14cos^2(x)-2=0;
5) 5cos^2(x)-3sin^2(x)-sin(2x)=2;
6) 3sin^2(x)+sin(x)cos(x)+4cos^2(x)=3;
7) 3sin(x)cos(x)+cos^2(x)=1;
8) (2cos(x)+sin(x))/(7sin(x)-cos(x))=1/2.
$$\sin^2 x+0{,}5\sin 2x-2\cos^2 x=0$$
$$\sin^2 x+\sin x\cos x-2\cos^2 x=0$$
$$\cos^2 x\left(\tg^2 x+\tg x-2\right)=0$$Если $$\cos x=0,$$ то исходное уравнение не выполняется, поэтому делим на $$\cos^2 x$$:
$$\tg^2 x+\tg x-2=0.$$
Пусть $$y=\tg x,$$ тогда
$$y^2+y-2=0,$$
$$\left(y+2\right)\left(y-1\right)=0.$$
Отсюда $$y=-2$$ или $$y=1.$$$$\tg x=-2 \Rightarrow x=-\arctg 2+\pi n,$$
$$\tg x=1 \Rightarrow x=\frac{\pi}{4}+\pi n.$$$$\cos^2 5x+7\sin^2 5x=4\sin 10x$$
$$\cos^2 5x+7\sin^2 5x=8\sin 5x\cos 5x$$
$$7\sin^2 5x-8\sin 5x\cos 5x+\cos^2 5x=0$$
$$\cos^2 5x\left(7\tg^2 5x-8\tg 5x+1\right)=0.$$При $$\cos 5x=0$$ левая часть равна $$7\neq 0,$$ значит делим на $$\cos^2 5x$$:
$$7\tg^2 5x-8\tg 5x+1=0.$$
Пусть $$y=\tg 5x,$$ тогда
$$7y^2-8y+1=0,$$
$$D=64-28=36,$$
$$y_1=\frac{8-6}{14}=\frac17,\qquad y_2=\frac{8+6}{14}=1.$$$$\tg 5x=\frac17 \Rightarrow 5x=\arctg\frac17+\pi n \Rightarrow x=\frac15\arctg\frac17+\frac{\pi n}{5},$$
$$\tg 5x=1 \Rightarrow 5x=\frac{\pi}{4}+\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi}{20}+\frac{\pi n}{5}.$$$$(\cos x+\sin x)^2=1-\cos 2x$$
$$\cos^2 x+2\sin x\cos x+\sin^2 x=1-\cos 2x$$
$$1+\sin 2x=1-\cos 2x$$
$$\sin 2x=-\cos 2x.$$$$\cos 2x\neq 0,$$ иначе равенство невозможно, поэтому
$$\tg 2x=-1.$$
Тогда
$$2x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,$$
$$x=-\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{2}.$$$$3\sin^2 x-7\sin x\cos x+14\cos^2 x-2=0$$
$$3\sin^2 x-7\sin x\cos x+12\cos^2 x=0$$
$$\cos^2 x\left(3\tg^2 x-7\tg x+12\right)=0.$$При $$\cos x=0$$ левая часть не обращается в нуль, поэтому
$$3\tg^2 x-7\tg x+12=0.$$
Пусть $$y=\tg x,$$ тогда
$$y^2-7y+12=0,$$
$$\left(y-3\right)\left(y-4\right)=0.$$
Значит, $$y=3$$ или $$y=4.$$$$\tg x=3 \Rightarrow x=\arctg 3+\pi n,$$
$$\tg x=4 \Rightarrow x=\arctg 4+\pi n.$$$$5\cos^2 x-3\sin^2 x-\sin 2x=2$$
$$5\cos^2 x-3\sin^2 x-2\sin x\cos x=2$$
$$3\cos^2 x-5\sin^2 x-2\sin x\cos x=0$$
$$\cos^2 x\left(3-5\tg^2 x-2\tg x\right)=0.$$При $$\cos x=0$$ равенство не выполняется, поэтому
$$3-5\tg^2 x-2\tg x=0,$$
$$5y^2+2y-3=0,$$ где $$y=\tg x.$$
Тогда
$$D=4+60=64,$$
$$y_1=\frac{-2-8}{10}=-1,\qquad y_2=\frac{-2+8}{10}=\frac35.$$$$\tg x=-1 \Rightarrow x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,$$
$$\tg x=\frac35 \Rightarrow x=\arctg\frac35+\pi n.$$$$3\sin^2 x+\sin x\cos x+4\cos^2 x=3$$
$$3\sin^2 x+\sin x\cos x+4\cos^2 x-3=0$$
$$3\sin^2 x+\sin x\cos x+\cos^2 x=0$$
$$\cos x\left(\sin x+\cos x\right)=0.$$Тогда
$$\cos x=0 \Rightarrow x=\frac{\pi}{2}+\pi n,$$
или
$$\sin x+\cos x=0 \Rightarrow \tg x=-1 \Rightarrow x=-\frac{\pi}{4}+\pi n.$$$$3\sin x\cos x+\cos^2 x=1$$
$$3\sin x\cos x-\sin^2 x=0$$
$$\sin x\left(3\cos x-\sin x\right)=0.$$Тогда
$$\sin x=0 \Rightarrow x=\pi n,$$
или
$$3\cos x-\sin x=0 \Rightarrow \tg x=3 \Rightarrow x=\arctg 3+\pi n.$$$$\frac{2\cos x+\sin x}{7\sin x-\cos x}=\frac12$$
$$2\left(2\cos x+\sin x\right)=7\sin x-\cos x$$
$$4\cos x+2\sin x=7\sin x-\cos x$$
$$5\cos x=5\sin x$$
$$\sin x=\cos x.$$При $$\cos x\neq 0$$ получаем
$$\tg x=1,$$
значит
$$x=\frac{\pi}{4}+\pi n.$$
Ответ
1) $$x=-\arctg 2+\pi n,\ \frac{\pi}{4}+\pi n$$;
2) $$x=\frac15\arctg\frac17+\frac{\pi n}{5},\ \frac{\pi}{20}+\frac{\pi n}{5}$$;
3) $$x=-\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{2}$$;
4) $$x=\arctg 3+\pi n,\ \arctg 4+\pi n$$;
5) $$x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\ \arctg\frac35+\pi n$$;
6) $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\ -\frac{\pi}{4}+\pi n$$;
7) $$x=\pi n,\ \arctg 3+\pi n$$;
8) $$x=\frac{\pi}{4}+\pi n$$, $$n\in\mathbb{Z}.$$
