Упр.30.6 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)
Решите уравнение:
- $$4\sin^2(x)+8\cos(x)+1=0$$;
- $$\cos(x)+\sin\left(\frac{x}{2}\right)=0$$;
- $$2\cos^2(x)=1+\sin(x)$$;
- $$2\cos^2(4x)-6\cos^2(2x)+1=0$$;
- $$\cos(2x)+8\sin(x)=3$$;
- $$\tg(x)+2\ctg(x)=3$$;
- $$\cos(2x)+\sin^2(x)=\cos(x)$$;
- $$\sqrt{3}\tg(x)+3=\frac{3}{\cos^2(x)}$$;
- $$5\sin\left(\frac{x}{6}\right)-\cos\left(\frac{x}{3}\right)+3=0$$;
- $$4\sin^2(x)+9\ctg^2(x)=6$$.
1) $$4\sin^2 x+8\cos x+1=0$$
$$4(1-\cos^2 x)+8\cos x+1=0$$
$$4\cos^2 x-8\cos x-5=0$$
Пусть $$y=\cos x$$, тогда
$$4y^2-8y-5=0$$
$$D=64+80=144$$
$$y_{1,2}=\frac{8\pm 12}{8}$$
$$y_1=-\frac12,\qquad y_2=\frac52$$
Так как $$\cos x\in[-1;1]$$, подходит только $$\cos x=-\frac12$$.
$$x=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$
2) $$2\cos^2 x=1+\sin x$$
$$2(1-\sin^2 x)=1+\sin x$$
$$2\sin^2 x+\sin x-1=0$$
Пусть $$y=\sin x$$, тогда
$$2y^2+y-1=0$$
$$D=1+8=9$$
$$y_{1,2}=\frac{-1\pm 3}{4}$$
$$y_1=-1,\qquad y_2=\frac12$$
Тогда
$$x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$
или
$$x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$
3) $$\cos 2x+8\sin x=3$$
$$1-2\sin^2 x+8\sin x=3$$
$$2\sin^2 x-8\sin x+2=0$$
$$\sin^2 x-4\sin x+1=0$$
Пусть $$y=\sin x$$, тогда
$$y^2-4y+1=0$$
$$D=16-4=12$$
$$y_{1,2}=2\pm \sqrt3$$
Так как $$2+\sqrt3>1$$, подходит только $$\sin x=2-\sqrt3$$.
$$x=(-1)^n\arcsin(2-\sqrt3)+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$
4) $$\cos 2x+\sin^2 x=\cos x$$
$$\cos^2 x-\sin^2 x+\sin^2 x=\cos x$$
$$\cos^2 x-\cos x=0$$
$$\cos x(\cos x-1)=0$$
Отсюда
$$\cos x=0 \quad \text{или} \quad \cos x=1$$
$$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$
или
$$x=2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$
5) $$5\sin\frac{x}{6}-\cos\frac{x}{3}+3=0$$
$$5\sin\frac{x}{6}-\left(1-2\sin^2\frac{x}{6}\right)+3=0$$
$$2\sin^2\frac{x}{6}+5\sin\frac{x}{6}+2=0$$
Пусть $$y=\sin\frac{x}{6}$$, тогда
$$2y^2+5y+2=0$$
$$D=25-16=9$$
$$y_{1,2}=\frac{-5\pm 3}{4}$$
$$y_1=-2,\qquad y_2=-\frac12$$
Значение $$y_1=-2$$ не подходит, поэтому
$$\sin\frac{x}{6}=-\frac12$$
$$\frac{x}{6}=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$
$$x=(-1)^{n+1}\pi+6\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$
6) $$\cos x+\sin\frac{x}{2}=0$$
$$1-2\sin^2\frac{x}{2}+\sin\frac{x}{2}=0$$
$$2\sin^2\frac{x}{2}-\sin\frac{x}{2}-1=0$$
Пусть $$y=\sin\frac{x}{2}$$, тогда
$$2y^2-y-1=0$$
$$D=1+8=9$$
$$y_{1,2}=\frac{1\pm 3}{4}$$
$$y_1=-\frac12,\qquad y_2=1$$
Тогда
$$\sin\frac{x}{2}=-\frac12 \Rightarrow x=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$
или
$$\sin\frac{x}{2}=1 \Rightarrow x=\pi+4\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$
7) $$2\cos^2 4x-6\cos^2 2x+1=0$$
$$2\cos^2 4x-3(2\cos^2 2x-1)-2=0$$
$$2\cos^2 4x-3\cos 4x-2=0$$
Пусть $$y=\cos 4x$$, тогда
$$2y^2-3y-2=0$$
$$D=9+16=25$$
$$y_{1,2}=\frac{3\pm 5}{4}$$
$$y_1=-\frac12,\qquad y_2=2$$
Значение $$y_2=2$$ не подходит, поэтому
$$\cos 4x=-\frac12$$
$$4x=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$
$$x=\pm \frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z$$
8) $$\tg x+2\ctg x=3$$
Умножим на $$\tg x$$:
$$\tg^2 x+2=3\tg x$$
$$\tg^2 x-3\tg x+2=0$$
Пусть $$y=\tg x$$, тогда
$$y^2-3y+2=0$$
$$D=9-8=1$$
$$y_{1,2}=\frac{3\pm 1}{2}$$
$$y_1=1,\qquad y_2=2$$
Тогда
$$\tg x=1 \Rightarrow x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$
или
$$\tg x=2 \Rightarrow x=\arctg 2+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$
9) $$\sqrt3\,\tg x+3=\frac{3}{\cos^2 x}$$
$$\sqrt3\,\tg x+3=3(1+\tg^2 x)$$
$$3\tg^2 x-\sqrt3\,\tg x=0$$
$$\tg x(\sqrt3\,\tg x-1)=0$$
Отсюда
$$\tg x=0 \Rightarrow x=\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$
или
$$\tg x=\frac{1}{\sqrt3} \Rightarrow x=\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$
10) $$4\sin^2 x+9\ctg^2 x=6$$
$$4\sin^2 x+9\left(\frac{1}{\sin^2 x}-1\right)=6$$
$$4\sin^2 x-15+\frac{9}{\sin^2 x}=0$$
Пусть $$y=\sin^2 x$$, тогда
$$4y-15+\frac{9}{y}=0$$
$$4y^2-15y+9=0$$
$$D=225-144=81$$
$$y_{1,2}=\frac{15\pm 9}{8}$$
$$y_1=\frac34,\qquad y_2=3$$
Так как $$\sin^2 x\le 1$$, подходит только $$\sin^2 x=\frac34$$.
$$\sin x=\pm \frac{\sqrt3}{2}$$
$$x=\pm \frac{\pi}{3}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$
Ответ
1) $$x=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi n$$; 2) $$x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\; (-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n$$; 3) $$x=(-1)^n\arcsin(2-\sqrt3)+\pi n$$; 4) $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\; 2\pi n$$; 5) $$x=(-1)^{n+1}\pi+6\pi n$$; 6) $$x=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{3}+2\pi n,\; \pi+4\pi n$$; 7) $$x=\pm \frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{2}$$; 8) $$x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\; \arctg 2+\pi n$$; 9) $$x=\pi n,\; \frac{\pi}{6}+\pi n$$; 10) $$x=\pm \frac{\pi}{3}+\pi n$$, $$n\in\mathbb Z$$.
