Упр.30.6 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

1) 4sin^2(x)+8cos(x)+1=0; 6) cos(x)+sin(x/2)=0;
2) 2cos^2(x)=1+sin(x); 7) 2cos^2(4x)-6cos^2(2x)+1=0;
3) cos(2x)+8sin(x)=3; 8) tg(x)+2ctg(x)=3;
4) cos(2x)+sin^2(x)=cos(x); 9) v3tg(x)+3=3/cos^2(x);
5) 5sin(x/6)-cos(x/3)+3=0; 10) 4sin^2(x)+9ctg^2(x)=6.

1. $$4\sin^2 x+8\cos x+1=0$$
   $$4(1-\cos^2 x)+8\cos x+1=0$$
   $$4\cos^2 x-8\cos x-5=0$$
   Пусть $$y=\cos x$$. Тогда
   $$4y^2-8y-5=0.$$
   $$D=64+80=144,$$
   $$y_{1,2}=\frac{8\pm 12}{8}.$$
   Получаем:
   $$y_1=-\frac12,\qquad y_2=\frac52.$$
   Значение $$\cos x=\frac52$$ невозможно, значит
   $$\cos x=-\frac12.$$
   Тогда
   $$x=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

2. $$2\cos^2 x=1+\sin x$$
   $$2(1-\sin^2 x)=1+\sin x$$
   $$2\sin^2 x+\sin x-1=0.$$
   Пусть $$y=\sin x$$. Тогда
   $$2y^2+y-1=0.$$
   $$D=1+8=9,$$
   $$y_{1,2}=\frac{-1\pm 3}{4}.$$
   Получаем:
   $$y_1=-1,\qquad y_2=\frac12.$$
   Значит,
   $$x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n$$
   или
   $$x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

3. $$\cos 2x+8\sin x=3$$
   $$1-2\sin^2 x+8\sin x=3$$
   $$2\sin^2 x-8\sin x+2=0$$
   $$\sin^2 x-4\sin x+1=0.$$
   Пусть $$y=\sin x$$. Тогда
   $$y^2-4y+1=0.$$
   $$D=16-4=12,$$
   $$y_{1,2}=\frac{4\pm 2\sqrt3}{2}=2\pm \sqrt3.$$
   Значение $$2+\sqrt3>1$$ невозможно, значит
   $$\sin x=2-\sqrt3.$$
   Тогда
   $$x=(-1)^n\arcsin(2-\sqrt3)+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

4. $$\cos 2x+\sin^2 x=\cos x$$
   $$\cos^2 x-\sin^2 x+\sin^2 x=\cos x$$
   $$\cos^2 x-\cos x=0$$
   $$\cos x(\cos x-1)=0.$$
   Отсюда:
   $$\cos x=0 \quad \text{или} \quad \cos x=1.$$
   Значит,
   $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n$$
   или
   $$x=2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

5. $$5\sin\frac{x}{6}-\cos\frac{x}{3}+3=0$$
   $$5\sin\frac{x}{6}-\left(1-2\sin^2\frac{x}{6}\right)+3=0$$
   $$2\sin^2\frac{x}{6}+5\sin\frac{x}{6}+2=0.$$
   Пусть $$y=\sin\frac{x}{6}$$. Тогда
   $$2y^2+5y+2=0.$$
   $$D=25-16=9,$$
   $$y_{1,2}=\frac{-5\pm 3}{4}.$$
   Получаем:
   $$y_1=-2,\qquad y_2=-\frac12.$$
   Значение $$-2$$ невозможно, значит
   $$\sin\frac{x}{6}=-\frac12.$$
   Тогда
   $$\frac{x}{6}=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{6}+\pi n,$$
   откуда
   $$x=(-1)^{n+1}\pi+6\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

6. $$\cos x+\sin\frac{x}{2}=0$$
   $$1-2\sin^2\frac{x}{2}+\sin\frac{x}{2}=0$$
   $$2\sin^2\frac{x}{2}-\sin\frac{x}{2}-1=0.$$
   Пусть $$y=\sin\frac{x}{2}$$. Тогда
   $$2y^2-y-1=0.$$
   $$D=1+8=9,$$
   $$y_{1,2}=\frac{1\pm 3}{4}.$$
   Получаем:
   $$y_1=-\frac12,\qquad y_2=1.$$
   Значит,
   $$\sin\frac{x}{2}=-\frac12 \quad \text{или} \quad \sin\frac{x}{2}=1.$$
   Отсюда
   $$x=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{3}+2\pi n$$
   или
   $$x=\pi+4\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

7. $$2\cos^2 4x-6\cos^2 2x+1=0$$
   $$2\cos^2 4x-3(2\cos^2 2x-1)-2=0$$
   $$2\cos^2 4x-3\cos 4x-2=0.$$
   Пусть $$y=\cos 4x$$. Тогда
   $$2y^2-3y-2=0.$$
   $$D=9+16=25,$$
   $$y_{1,2}=\frac{3\pm 5}{4}.$$
   Получаем:
   $$y_1=-\frac12,\qquad y_2=2.$$
   Значение $$2$$ невозможно, значит
   $$\cos 4x=-\frac12.$$
   Тогда
   $$4x=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi n,$$
   откуда
   $$x=\pm \frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z.$$

8. $$\tg x+2\ctg x=3$$
   Умножим на $$\tg x$$:
   $$\tg^2 x+2=3\tg x.$$
   $$\tg^2 x-3\tg x+2=0.$$
   Пусть $$y=\tg x$$. Тогда
   $$y^2-3y+2=0.$$
   $$D=9-8=1,$$
   $$y_{1,2}=\frac{3\pm 1}{2}.$$
   Получаем:
   $$y_1=1,\qquad y_2=2.$$
   Значит,
   $$x=\frac{\pi}{4}+\pi n$$
   или
   $$x=\arctg 2+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

9. $$\sqrt3\,\tg x+3=\frac{3}{\cos^2 x}$$
   $$\sqrt3\,\tg x+3=3(1+\tg^2 x)$$
   $$3\tg^2 x-\sqrt3\,\tg x=0$$
   $$\tg x(\,3\tg x-\sqrt3\,)=0.$$
   Отсюда:
   $$\tg x=0 \quad \text{или} \quad \tg x=\frac{1}{\sqrt3}.$$
   Значит,
   $$x=\pi n$$
   или
   $$x=\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

10. $$4\sin^2 x+9\ctg^2 x=6$$
    $$4\sin^2 x+9\left(\frac{1}{\sin^2 x}-1\right)=6$$
    $$4\sin^2 x-15+\frac{9}{\sin^2 x}=0.$$
    Пусть $$y=\sin^2 x$$. Тогда
    $$4y-15+\frac{9}{y}=0.$$
    Умножим на $$y$$:
    $$4y^2-15y+9=0.$$
    $$D=225-144=81,$$
    $$y_{1,2}=\frac{15\pm 9}{8}.$$
    Получаем:
    $$y_1=\frac34,\qquad y_2=3.$$
    Значение $$3$$ невозможно, значит
    $$\sin^2 x=\frac34,$$
    то есть
    $$\sin x=\pm \frac{\sqrt3}{2}.$$
    Следовательно,
    $$x=\pm \frac{\pi}{3}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

1) $$x=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi n$$;
2) $$x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\; x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n$$;
3) $$x=(-1)^n\arcsin(2-\sqrt3)+\pi n$$;
4) $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\; x=2\pi n$$;
5) $$x=(-1)^{n+1}\pi+6\pi n$$;
6) $$x=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{3}+2\pi n,\; x=\pi+4\pi n$$;
7) $$x=\pm \frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{2}$$;
8) $$x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\; x=\arctg 2+\pi n$$;
9) $$x=\pi n,\; x=\frac{\pi}{6}+\pi n$$;
10) $$x=\pm \frac{\pi}{3}+\pi n$$, $$n\in\mathbb Z$$.