Упр.30.5 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)
Решите уравнение:
1) $$6\cos^2(x)+5\sin(x)-7=0$$;
8) $$\cos\left(\frac{x}{2}\right)+\cos(x)=0$$;
2) $$2\sin^2(x)+7\cos(x)+2=0$$;
9) $$\operatorname{tg}(x)+\operatorname{ctg}(x)=-2$$;
3) $$\cos(2x)=1+4\cos(x)$$;
10) $$8\sin^2(3x)+4\sin^2(6x)=5$$;
4) $$2\cos(x)-\cos(2x)-\cos^2(x)=0$$;
11) $$4\operatorname{tg}(5x)+3\operatorname{ctg}(5x)=7$$;
5) $$\cos(2x)+\sin(x)=0$$;
12) $$\frac{1}{\sin^2(x)}=\operatorname{ctg}(x)+3$$;
6) $$\cos\left(\frac{2x}{3}\right)-5\cos\left(\frac{x}{3}\right)-2=0$$;
13) $$2\operatorname{tg}^2(x)+4\cos^2(x)=7$$;
7) $$\cos(2x)-\cos^2(x)-\sqrt{2}\sin(x)=0$$;
14) $$\cos(2x)-4\sqrt{2}\cos(x)+4=0$$.
1) $$6\cos^2 x+5\sin x-7=0$$
$$6(1-\sin^2 x)+5\sin x-7=0$$
$$6\sin^2 x-5\sin x+1=0$$
Пусть $$y=\sin x$$. Тогда
$$6y^2-5y+1=0$$
$$D=25-24=1$$
$$y_1=\frac{5-1}{12}=\frac13,\qquad y_2=\frac{5+1}{12}=\frac12$$
Следовательно,
$$\sin x=\frac13 \quad \text{или} \quad \sin x=\frac12$$
$$x=(-1)^n\arcsin\frac13+\pi n,\qquad x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$
2) $$2\sin^2 x+7\cos x+2=0$$
$$2(1-\cos^2 x)+7\cos x+2=0$$
$$2\cos^2 x-7\cos x-4=0$$
Пусть $$y=\cos x$$. Тогда
$$2y^2-7y-4=0$$
$$D=49+32=81$$
$$y_1=\frac{7-9}{4}=-\frac12,\qquad y_2=\frac{7+9}{4}=4$$
Значение $$y=4$$ не подходит, так как $$\cos x\in[-1;1]$$. Поэтому
$$\cos x=-\frac12$$
$$x=\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$
3) $$\cos 2x=1+4\cos x$$
$$2\cos^2 x-1=1+4\cos x$$
$$2\cos^2 x-4\cos x-2=0$$
Пусть $$y=\cos x$$. Тогда
$$y^2-2y-1=0$$
$$D=8$$
$$y=1\pm\sqrt2$$
Значение $$1+\sqrt2$$ не подходит, так как больше 1. Поэтому
$$\cos x=1-\sqrt2$$
$$x=\pm\arccos(1-\sqrt2)+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$
4) $$2\cos x-\cos 2x-\cos^2 x=0$$
$$2\cos x-(2\cos^2 x-1)-\cos^2 x=0$$
$$3\cos^2 x-2\cos x-1=0$$
Пусть $$y=\cos x$$. Тогда
$$3y^2-2y-1=0$$
$$D=16$$
$$y_1=-\frac13,\qquad y_2=1$$
Следовательно,
$$\cos x=-\frac13 \quad \text{или} \quad \cos x=1$$
$$x=\pm\arccos\!\left(-\frac13\right)+2\pi n,\qquad x=2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$
5) $$\cos 2x+\sin x=0$$
$$1-2\sin^2 x+\sin x=0$$
$$2\sin^2 x-\sin x-1=0$$
Пусть $$y=\sin x$$. Тогда
$$2y^2-y-1=0$$
$$D=9$$
$$y_1=-\frac12,\qquad y_2=1$$
Следовательно,
$$\sin x=-\frac12 \quad \text{или} \quad \sin x=1$$
$$x=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{6}+\pi n,\qquad x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$
6) $$\cos\frac{2x}{3}-5\cos\frac{x}{3}-2=0$$
$$2\cos^2\frac{x}{3}-1-5\cos\frac{x}{3}-2=0$$
$$2\cos^2\frac{x}{3}-5\cos\frac{x}{3}-3=0$$
Пусть $$y=\cos\frac{x}{3}$$. Тогда
$$2y^2-5y-3=0$$
$$D=49$$
$$y_1=-\frac12,\qquad y_2=3$$
Значение $$y=3$$ не подходит. Поэтому
$$\cos\frac{x}{3}=-\frac12$$
$$\frac{x}{3}=\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi n$$
$$x=\pm2\pi+6\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$
7) $$\cos 2x-\cos^2 x-\sqrt2\sin x=0$$
$$2\cos^2 x-1-\cos^2 x-\sqrt2\sin x=0$$
$$\cos^2 x-1=\sqrt2\sin x$$
$$-\sin^2 x=\sqrt2\sin x$$
$$\sin x(\sin x+\sqrt2)=0$$
Следовательно,
$$\sin x=0 \quad \text{или} \quad \sin x=-\sqrt2$$
Второе уравнение не имеет решений, так как $$|\sin x|\le 1$$. Поэтому
$$x=\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$
8) $$\cos\frac{x}{2}+\cos x=0$$
$$\cos\frac{x}{2}+2\cos^2\frac{x}{2}-1=0$$
$$2\cos^2\frac{x}{2}+\cos\frac{x}{2}-1=0$$
Пусть $$y=\cos\frac{x}{2}$$. Тогда
$$2y^2+y-1=0$$
$$D=9$$
$$y_1=-1,\qquad y_2=\frac12$$
Следовательно,
$$\cos\frac{x}{2}=-1 \quad \text{или} \quad \cos\frac{x}{2}=\frac12$$
$$\frac{x}{2}=\pi+2\pi n,\qquad \frac{x}{2}=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$
$$x=2\pi+4\pi n,\qquad x=\pm\frac{2\pi}{3}+4\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$
9) $$\tg x+\ctg x=-2$$
Умножим на $$\tg x$$:
$$\tg^2 x+1=-2\tg x$$
$$\tg^2 x+2\tg x+1=0$$
$$(\tg x+1)^2=0$$
$$\tg x=-1$$
$$x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$
10) $$8\sin^2 3x+4\sin^2 6x=5$$
$$8(1-\cos^2 3x)+4(1-\cos^2 6x)=5$$
$$7-8\cos^2 3x-4\cos^2 6x=0$$
$$\cos 6x=2\cos^2 3x-1$$
Пусть $$y=\cos^2 3x$$. Тогда
$$16y^2-8y-3=0$$
$$D=256$$
$$y_1=-\frac14,\qquad y_2=\frac34$$
Так как $$\cos^2 3x\ge 0$$, остаётся только
$$\cos^2 3x=\frac34$$
$$\cos 3x=\pm\frac{\sqrt3}{2}$$
$$3x=\pm\frac{\pi}{6}+2\pi n \quad \text{или} \quad 3x=\pm\frac{5\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$
$$x=\pm\frac{\pi}{18}+\frac{2\pi n}{3},\qquad x=\pm\frac{5\pi}{18}+\frac{2\pi n}{3},\quad n\in\mathbb Z$$
11) $$4\tg(5x)+3\ctg(5x)=7$$
Пусть $$y=\tg(5x)$$. Тогда $$\ctg(5x)=\frac1y$$, и
$$4y+\frac{3}{y}=7$$
$$4y^2-7y+3=0$$
$$D=1$$
$$y_1=1,\qquad y_2=\frac34$$
Следовательно,
$$\tg(5x)=1 \quad \text{или} \quad \tg(5x)=\frac34$$
$$5x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\qquad 5x=\arctg\frac34+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$
$$x=\frac{\pi}{20}+\frac{\pi n}{5},\qquad x=\frac{1}{5}\arctg\frac34+\frac{\pi n}{5},\quad n\in\mathbb Z$$
12) $$\frac{1}{\sin^2 x}=\ctg x+3$$
Пусть $$y=\ctg x$$. Тогда $$\frac{1}{\sin^2 x}=1+\ctg^2 x=1+y^2$$, и
$$1+y^2=y+3$$
$$y^2-y-2=0$$
$$D=9$$
$$y_1=2,\qquad y_2=-1$$
Следовательно,
$$\ctg x=2 \quad \text{или} \quad \ctg x=-1$$
$$x=\arctg\frac12+\pi n,\qquad x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$
13) $$2\tg^2 x+4\cos^2 x=7$$
Пусть $$y=\tg^2 x$$. Тогда $$\cos^2 x=\frac{1}{1+y}$$, и
$$2y+\frac{4}{1+y}=7$$
$$2y(1+y)+4=7(1+y)$$
$$2y^2-5y-3=0$$
$$D=49$$
$$y_1=-\frac12,\qquad y_2=3$$
Так как $$\tg^2 x\ge 0$$, остаётся только
$$\tg^2 x=3$$
$$\tg x=\pm\sqrt3$$
$$x=\pm\frac{\pi}{3}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$
14) $$\cos 2x-4\sqrt2\cos x+4=0$$
$$2\cos^2 x-1-4\sqrt2\cos x+4=0$$
$$2\cos^2 x-4\sqrt2\cos x+3=0$$
Пусть $$y=\cos x$$. Тогда
$$2y^2-4\sqrt2\,y+3=0$$
$$D=32-24=8$$
$$y=\frac{4\sqrt2\pm2\sqrt2}{4}$$
$$y_1=\frac{\sqrt2}{2},\qquad y_2=\frac{3\sqrt2}{2}$$
Значение $$\frac{3\sqrt2}{2}$$ не подходит, так как больше 1. Поэтому
$$\cos x=\frac{\sqrt2}{2}$$
$$x=\pm\frac{\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$
