Упр.30.5 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

1) 6cos^2(x)+5sin(x)-7=0; 8) cos(x/2)+cos(x)=0;
2) 2sin^2(x)+7cos(x)+2=0; 9) tg(x)+ctg(x)=-2;
3) cos(2x)=1+4cos(x); 10) 8sin^2(3x)+4sin^2(6x)=5;
4) 2cos(x)-cos(2x)-cos^2(x)=0; 11) 4tg(5x)+3ctg(5x)=7;
5) cos(2x)+sin(x)=0; 12) 1/sin^2(x)=ctg(x)+3;
6) cos(2x/3)-5cos(x/3)-2=0; 13) 2tg^2(x)+4cos^2(x)=7;
7) cos(2x)-cos^2(x)-v2sin(x)=0; 14) cos(2x)-4v2cos(x)+4=0.

1. $$6\cos^2 x+5\sin x-7=0$$
   $$6(1-\sin^2 x)+5\sin x-7=0$$
   $$6\sin^2 x-5\sin x+1=0$$
   Пусть $$y=\sin x$$, тогда
   $$6y^2-5y+1=0$$
   $$D=25-24=1$$
   $$y_1=\frac{5-1}{12}=\frac13,\qquad y_2=\frac{5+1}{12}=\frac12$$
   Тогда
   $$\sin x=\frac13 \quad \text{или} \quad \sin x=\frac12$$
   Отсюда
   $$x=(-1)^n\arcsin\frac13+\pi n$$
   и
   $$x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n.$$
2. $$2\sin^2 x+7\cos x+2=0$$
   $$2(1-\cos^2 x)+7\cos x+2=0$$
   $$2\cos^2 x-7\cos x-4=0$$
   Пусть $$y=\cos x$$, тогда
   $$2y^2-7y-4=0$$
   $$D=49+32=81$$
   $$y_1=\frac{7-9}{4}=-\frac12,\qquad y_2=\frac{7+9}{4}=4$$
   Значение $$y_2=4$$ не подходит, так как $$\cos x\in[-1;1]$$. Поэтому
   $$\cos x=-\frac12$$
   $$x=\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi n.$$
3. $$\cos 2x=1+4\cos x$$
   $$2\cos^2 x-1=1+4\cos x$$
   $$2\cos^2 x-4\cos x-2=0$$
   Пусть $$y=\cos x$$, тогда
   $$2y^2-4y-2=0$$
   $$y^2-2y-1=0$$
   $$D=4+4=8$$
   $$y=1\pm\sqrt2$$
   Значение $$1+\sqrt2$$ не подходит, так как больше 1. Значит,
   $$\cos x=1-\sqrt2$$
   $$x=\pm\arccos(1-\sqrt2)+2\pi n.$$
4. $$2\cos x-\cos 2x-\cos^2 x=0$$
   $$2\cos x-(2\cos^2 x-1)-\cos^2 x=0$$
   $$3\cos^2 x-2\cos x-1=0$$
   Пусть $$y=\cos x$$, тогда
   $$3y^2-2y-1=0$$
   $$D=4+12=16$$
   $$y_1=\frac{2-4}{6}=-\frac13,\qquad y_2=\frac{2+4}{6}=1$$
   Тогда
   $$\cos x=-\frac13 \quad \text{или} \quad \cos x=1$$
   Следовательно,
   $$x=\pm\arccos\left(-\frac13\right)+2\pi n,\qquad x=2\pi n.$$
5. $$\cos 2x+\sin x=0$$
   $$1-2\sin^2 x+\sin x=0$$
   $$2\sin^2 x-\sin x-1=0$$
   Пусть $$y=\sin x$$, тогда
   $$2y^2-y-1=0$$
   $$D=1+8=9$$
   $$y_1=\frac{1-3}{4}=-\frac12,\qquad y_2=\frac{1+3}{4}=1$$
   Тогда
   $$\sin x=-\frac12 \quad \text{или} \quad \sin x=1$$
   Значит,
   $$x=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{6}+\pi n,\qquad x=\frac{\pi}{2}+2\pi n.$$
6. $$\cos\frac{2x}{3}-5\cos\frac{x}{3}-2=0$$
   $$2\cos^2\frac{x}{3}-1-5\cos\frac{x}{3}-2=0$$
   $$2\cos^2\frac{x}{3}-5\cos\frac{x}{3}-3=0$$
   Пусть $$y=\cos\frac{x}{3}$$, тогда
   $$2y^2-5y-3=0$$
   $$D=25+24=49$$
   $$y_1=\frac{5-7}{4}=-\frac12,\qquad y_2=\frac{5+7}{4}=3$$
   Значение $$y_2=3$$ не подходит. Поэтому
   $$\cos\frac{x}{3}=-\frac12$$
   $$\frac{x}{3}=\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi n$$
   $$x=\pm 2\pi+6\pi n.$$
7. $$\cos 2x-\cos^2 x-\sqrt2\sin x=0$$
   $$2\cos^2 x-1-\cos^2 x-\sqrt2\sin x=0$$
   $$\cos^2 x-1=\sqrt2\sin x$$
   $$-\sin^2 x=\sqrt2\sin x$$
   $$\sin x(\sin x+\sqrt2)=0$$
   Отсюда
   $$\sin x=0 \quad \text{или} \quad \sin x=-\sqrt2$$
   Второе уравнение решений не имеет. Значит,
   $$x=\pi n.$$
8. $$\cos\frac{x}{2}+\cos x=0$$
   $$\cos\frac{x}{2}+2\cos^2\frac{x}{2}-1=0$$
   $$2\cos^2\frac{x}{2}+\cos\frac{x}{2}-1=0$$
   Пусть $$y=\cos\frac{x}{2}$$, тогда
   $$2y^2+y-1=0$$
   $$D=1+8=9$$
   $$y_1=-1,\qquad y_2=\frac12$$
   Тогда
   $$\cos\frac{x}{2}=-1 \quad \text{или} \quad \cos\frac{x}{2}=\frac12$$
   Следовательно,
   $$\frac{x}{2}=\pi+2\pi n \Rightarrow x=2\pi+4\pi n$$
   и
   $$\frac{x}{2}=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi n \Rightarrow x=\pm\frac{2\pi}{3}+4\pi n.$$
9. $$\tg x+\ctg x=-2$$
   Умножим на $$\tg x$$:
   $$\tg^2 x+1=-2\tg x$$
   $$\tg^2 x+2\tg x+1=0$$
   $$\left(\tg x+1\right)^2=0$$
   $$\tg x=-1$$
   $$x=-\frac{\pi}{4}+\pi n.$$
10. $$8\sin^2 3x+4\sin^2 6x=5$$
    $$8(1-\cos^2 3x)+4(1-\cos^2 6x)=5$$
    $$7-8\cos^2 3x-4\cos^2 6x=0$$
    $$\cos 6x=2\cos^2 3x-1$$
    Пусть $$y=\cos^2 3x$$, тогда
    $$7-8y-4(2y-1)^2=0$$
    $$16y^2-8y-3=0$$
    $$D=64+192=256$$
    $$y_1=-\frac14,\qquad y_2=\frac34$$
    Так как $$y=\cos^2 3x\ge 0$$, то $$y_1$$ не подходит. Значит,
    $$\cos^2 3x=\frac34$$
    $$\cos 3x=\pm\frac{\sqrt3}{2}$$
    Отсюда
    $$3x=\pm\frac{\pi}{6}+2\pi n \quad \text{или} \quad 3x=\pm\frac{5\pi}{6}+2\pi n$$
    $$x=\pm\frac{\pi}{18}+\frac{2\pi n}{3},\qquad x=\pm\frac{5\pi}{18}+\frac{2\pi n}{3}.$$
11. $$4\tg(5x)+3\ctg(5x)=7$$
    Пусть $$y=\tg(5x)$$, тогда $$\ctg(5x)=\frac1y$$:
    $$4y+\frac{3}{y}=7$$
    $$4y^2-7y+3=0$$
    $$D=49-48=1$$
    $$y_1=1,\qquad y_2=\frac34$$
    Тогда
    $$\tg(5x)=1 \quad \text{или} \quad \tg(5x)=\frac34$$
    Следовательно,
    $$5x=\frac{\pi}{4}+\pi n$$
    и
    $$5x=\arctg\frac34+\pi n.$$
12. $$\frac{1}{\sin^2 x}=\ctg x+3$$
    Обозначим $$\ctg x=t$$. Тогда
    $$\frac{1}{\sin^2 x}=1+\ctg^2 x=1+t^2$$
    Получаем
    $$1+t^2=t+3$$
    $$t^2-t-2=0$$
    $$\left(t-2\right)\left(t+1\right)=0$$
    $$t=2 \quad \text{или} \quad t=-1$$
    Значит,
    $$\ctg x=2 \quad \text{или} \quad \ctg x=-1$$
    Отсюда
    $$x=\arctg\frac12+\pi n,\qquad x=-\frac{\pi}{4}+\pi n.$$
13. $$2\tg^2 x+4\cos^2 x=7$$
    $$2\tg^2 x+4(1-\sin^2 x)=7$$
    Удобнее выразить через $$\tg x$$:
    $$\cos^2 x=\frac{1}{1+\tg^2 x}$$
    Пусть $$t=\tg^2 x$$. Тогда
    $$2t+\frac{4}{1+t}=7$$
    $$2t(1+t)+4=7(1+t)$$
    $$2t^2-5t-3=0$$
    $$D=25+24=49$$
    $$t_1=3,\qquad t_2=-\frac12$$
    Так как $$t=\tg^2 x\ge 0$$, то подходит только $$t=3$$:
    $$\tg^2 x=3$$
    $$\tg x=\pm\sqrt3$$
    $$x=\pm\frac{\pi}{3}+\pi n.$$
14. $$\cos 2x-4\sqrt2\cos x+4=0$$
    $$2\cos^2 x-1-4\sqrt2\cos x+4=0$$
    $$2\cos^2 x-4\sqrt2\cos x+3=0$$
    Пусть $$y=\cos x$$, тогда
    $$2y^2-4\sqrt2\,y+3=0$$
    $$D=32-24=8$$
    $$y=\frac{4\sqrt2\pm 2\sqrt2}{4}$$
    $$y_1=\frac{\sqrt2}{2},\qquad y_2=\frac{3\sqrt2}{2}$$
    Значение $$y_2$$ не подходит, так как больше 1. Поэтому
    $$\cos x=\frac{\sqrt2}{2}$$
    $$x=\pm\frac{\pi}{4}+2\pi n.$$

Ответ

1) $$x=(-1)^n\arcsin\frac13+\pi n,\; (-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n$$
2) $$x=\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi n$$
3) $$x=\pm\arccos(1-\sqrt2)+2\pi n$$
4) $$x=\pm\arccos\left(-\frac13\right)+2\pi n,\; 2\pi n$$
5) $$x=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{6}+\pi n,\; \frac{\pi}{2}+2\pi n$$
6) $$x=\pm 2\pi+6\pi n$$
7) $$x=\pi n$$
8) $$x=2\pi+4\pi n,\; x=\pm\frac{2\pi}{3}+4\pi n$$
9) $$x=-\frac{\pi}{4}+\pi n$$
10) $$x=\pm\frac{\pi}{18}+\frac{2\pi n}{3},\; x=\pm\frac{5\pi}{18}+\frac{2\pi n}{3}$$
11) $$x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\; x=\arctg\frac34+\pi n$$
12) $$x=\arctg\frac12+\pi n,\; x=-\frac{\pi}{4}+\pi n$$
13) $$x=\pm\frac{\pi}{3}+\pi n$$
14) $$x=\pm\frac{\pi}{4}+2\pi n$$