Упр.30.4 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

1) sin(x)+cos(x)=0; 4) cos(4x)-3sin(4x)=0;
2) sin(x)-v3cos(x)=0; 5) sin^2(x)-5sin(x)cos(x)+6cos^2(x)=0;
3) 2sin(x)+cos(x)=0; 6) 4sin^2(x)=3sin(x)cos(x)+cos^2(x).

1. $$\sin x+\cos x=0$$
   
   Разделим на $$\cos x$$:
   $$\tg x+1=0$$
   $$\tg x=-1$$
   $$x=\arctg(-1)+\pi n=-\frac{\pi}{4}+\pi n.$$
2. $$\sin x-\sqrt{3}\cos x=0$$
   
   Разделим на $$\cos x$$:
   $$\tg x-\sqrt{3}=0$$
   $$\tg x=\sqrt{3}$$
   $$x=\arctg \sqrt{3}+\pi n=\frac{\pi}{3}+\pi n.$$
3. $$2\sin x+\cos x=0$$
   
   Разделим на $$\cos x$$:
   $$2\tg x+1=0$$
   $$2\tg x=-1$$
   $$\tg x=-\frac12$$
   $$x=\arctg\left(-\frac12\right)+\pi n=-\arctg\frac12+\pi n.$$
4. $$\cos 4x-3\sin 4x=0$$
   
   Разделим на $$\cos 4x$$:
   $$1-3\tg 4x=0$$
   $$3\tg 4x=1$$
   $$\tg 4x=\frac13$$
   $$4x=\arctg\frac13+\pi n$$
   $$x=\frac14\arctg\frac13+\frac{\pi n}{4}.$$
5. $$\sin^2 x-5\sin x\cos x+6\cos^2 x=0$$
   
   Разделим на $$\cos^2 x$$:
   $$\tg^2 x-5\tg x+6=0$$
   Пусть $$y=\tg x$$, тогда
   $$y^2-5y+6=0$$
   $$\left(y-2\right)\left(y-3\right)=0$$
   $$y_1=2,\quad y_2=3.$$
   Значит,
   $$\tg x=2 \quad \text{или} \quad \tg x=3.$$
   Тогда
   $$x=\arctg 2+\pi n \quad \text{или} \quad x=\arctg 3+\pi n.$$
6. $$4\sin^2 x=3\sin x\cos x+\cos^2 x$$
   
   Разделим на $$\cos^2 x$$:
   $$4\tg^2 x=3\tg x+1$$
   Пусть $$y=\tg x$$, тогда
   $$4y^2-3y-1=0$$
   $$D= (-3)^2-4\cdot 4\cdot(-1)=9+16=25$$
   $$y_1=\frac{3-5}{8}=-\frac14,\quad y_2=\frac{3+5}{8}=1.$$
   Значит,
   $$\tg x=-\frac14 \quad \text{или} \quad \tg x=1.$$
   Тогда
   $$x=\arctg\left(-\frac14\right)+\pi n=-\arctg\frac14+\pi n$$
   или
   $$x=\arctg 1+\pi n=\frac{\pi}{4}+\pi n.$$

Ответ

1) $$x=-\frac{\pi}{4}+\pi n$$;
2) $$x=\frac{\pi}{3}+\pi n$$;
3) $$x=-\arctg\frac12+\pi n$$;
4) $$x=\frac14\arctg\frac13+\frac{\pi n}{4}$$;
5) $$x=\arctg 2+\pi n,\ \arctg 3+\pi n$$;
6) $$x=-\arctg\frac14+\pi n,\ \frac{\pi}{4}+\pi n$$, $$n\in\mathbb{Z}$$.