Упр.30.4 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

Решите уравнение:

1) $$\sin(x)+\cos(x)=0$$; 4) $$\cos(4x)-3\sin(4x)=0$$; 2) $$\sin(x)-\sqrt{3}\cos(x)=0$$; 5) $$\sin^2(x)-5\sin(x)\cos(x)+6\cos^2(x)=0$$; 3) $$2\sin(x)+\cos(x)=0$$; 6) $$4\sin^2(x)=3\sin(x)\cos(x)+\cos^2(x)$$.

1) $$\sin x+\cos x=0$$

Разделим обе части на $$\cos x$$:

$$\tg x+1=0$$

$$\tg x=-1$$

$$x=\arctg(-1)+\pi n=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

2) $$\sin x-\sqrt{3}\cos x=0$$

Разделим обе части на $$\cos x$$:

$$\tg x-\sqrt{3}=0$$

$$\tg x=\sqrt{3}$$

$$x=\arctg\sqrt{3}+\pi n=\frac{\pi}{3}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

3) $$2\sin x+\cos x=0$$

Разделим обе части на $$\cos x$$:

$$2\tg x+1=0$$

$$2\tg x=-1$$

$$\tg x=-\frac12$$

$$x=\arctg\left(-\frac12\right)+\pi n=-\arctg\frac12+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

4) $$\cos 4x-3\sin 4x=0$$

Разделим обе части на $$\cos 4x$$:

$$1-3\tg 4x=0$$

$$3\tg 4x=1$$

$$\tg 4x=\frac13$$

$$4x=\arctg\frac13+\pi n$$

$$x=\frac14\arctg\frac13+\frac{\pi n}{4},\quad n\in\mathbb Z.$$

5) $$\sin^2 x-5\sin x\cos x+6\cos^2 x=0$$

Разделим обе части на $$\cos^2 x$$:

$$\tg^2 x-5\tg x+6=0$$

Пусть $$y=\tg x$$. Тогда

$$y^2-5y+6=0$$

$$\left(y-2\right)\left(y-3\right)=0$$

$$y_1=2,\quad y_2=3$$

Следовательно,

$$\tg x=2 \quad \text{или} \quad \tg x=3.$$

Отсюда

$$x=\arctg 2+\pi n,\quad x=\arctg 3+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

6) $$4\sin^2 x=3\sin x\cos x+\cos^2 x$$

Разделим обе части на $$\cos^2 x$$:

$$4\tg^2 x=3\tg x+1$$

Пусть $$y=\tg x$$. Тогда

$$4y^2-3y-1=0$$

$$D=3^2+4\cdot 4=25$$

$$y_1=\frac{3-5}{8}=-\frac14,\quad y_2=\frac{3+5}{8}=1$$

Значит,

$$\tg x=-\frac14 \quad \text{или} \quad \tg x=1.$$

Отсюда

$$x=-\arctg\frac14+\pi n,\quad x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ: 1) $$x=-\frac{\pi}{4}+\pi n$$; 2) $$x=\frac{\pi}{3}+\pi n$$; 3) $$x=-\arctg\frac12+\pi n$$; 4) $$x=\frac14\arctg\frac13+\frac{\pi n}{4}$$; 5) $$x=\arctg 2+\pi n,\ \arctg 3+\pi n$$; 6) $$x=-\arctg\frac14+\pi n,\ \frac{\pi}{4}+\pi n$$, $$n\in\mathbb Z$$.